Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Isso envolve conceitos de cálculo, como limites e funções exponenciais e logarítmicas. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente conforme
cresce cada vez mais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador, que é
. Sabemos que a função cosseno,
, oscila entre -1 e 1 para todo valor de
. Então,
vai variar entre
e
. Isso significa que
sempre está entre 1 e 3, independente do valor de
.
Passo 3
Agora, aplicando o logaritmo natural nessa faixa, temos
e
. Portanto,
vai sempre estar entre 0 e aproximadamente 1.0986. Ou seja, o numerador permanece limitado, nunca cresce além desse intervalo.
Passo 4
No denominador, temos
. Sabemos que a função exponencial cresce muito rapidamente conforme
aumenta. Quando
tende ao infinito,
cresce sem limites, ou seja,
à medida que
.
Passo 5
Agora, juntando as duas partes: o numerador está sempre entre 0 e cerca de 1.0986, enquanto o denominador cresce para infinito. Quando temos uma fração onde o numerador fica limitado e o denominador cresce para infinito, o valor da fração todo tende a zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de
até
(e) ;
(e)
Esboce o gráfico das funções abaixo:
(a)
(a)
Calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam. Se não existir, justifique.
Dê o domínio das funções abaixo:
(b)
(b)