Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
(a) lim x infty ln (2+cos (x))e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de ln(2 + cos(x))e^x quando x tende ao infinito. Isso envolve conceitos de cálculo, como limites e funções exponenciais e logarítmicas. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente conforme x cresce cada vez mais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador, que é ln(2 + cos(x)). Sabemos que a função cosseno, cos(x), oscila entre -1 e 1 para todo valor de x. Então, 2 + cos(x) vai variar entre 2 - 1 = 1 e 2 + 1 = 3. Isso significa que 2 + cos(x) sempre está entre 1 e 3, independente do valor de x.

Passo 3

Agora, aplicando o logaritmo natural nessa faixa, temos ln(1) = 0 e ln(3) approx 1.0986. Portanto, ln(2 + cos(x)) vai sempre estar entre 0 e aproximadamente 1.0986. Ou seja, o numerador permanece limitado, nunca cresce além desse intervalo.

Passo 4

No denominador, temos e^x. Sabemos que a função exponencial cresce muito rapidamente conforme x aumenta. Quando x tende ao infinito, e^x cresce sem limites, ou seja, e^x infty à medida que x infty.

Passo 5

Agora, juntando as duas partes: o numerador está sempre entre 0 e cerca de 1.0986, enquanto o denominador cresce para infinito. Quando temos uma fração onde o numerador fica limitado e o denominador cresce para infinito, o valor da fração todo tende a zero.

Resposta

lim x infty ln (2+cos (x))e^x = 0

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Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de t1 até t2
(e) sigma(t) = 4 t^(3/2) i - 3 sen(t) j + 3 cos(t) k;
t1 = 0, t2 = 2
Esboce o gráfico das funções abaixo:
(a) -log_3(x+1)
Calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam. Se não existir, justifique.
f(x) = ((x^2 - 1)(|x - 2| + x)) / (x^2 - 3x + 2)
Dê o domínio das funções abaixo:
(b) 1/e^x