Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de t1 até t2
(e) sigma(t) = 4 t^(3/2) i - 3 sen(t) j + 3 cos(t) k;
t1 = 0, t2 = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o comprimento de arco da curva dada pela função vetorial , no intervalo de até . Vamos precisar usar o cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco de curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada por t. A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função vetorial sigma(t) em relação a t, e é o módulo dessa derivada.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de sigma(t), ou seja, . Derivando cada componente:
  • Para : a derivada é
  • Para : a derivada é
  • Para : a derivada é
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de , que é:
Simplificando cada termo:
Então,
Podemos fatorar o 9 das últimas duas parcelas:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco e calcular a integral:
Fatoramos o 3 para fora da integral:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou . Quando , ; quando , .
Substituindo na integral:
Integrando :
Aplicando os limites de 1 a 9:

Resposta

O comprimento de arco da curva no intervalo de até é unidades.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das funções abaixo:
(a) -log_3(x+1)
Encontre o limite ou mostre que o limite não existe usando coordenadas polares:
lim (x, y) (0,0) tg(x^2-y^2x^2+y^2)
Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
(a) lim x infty ln (2+cos (x))e^x
Calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam. Se não existir, justifique.
f(x) = ((x^2 - 1)(|x - 2| + x)) / (x^2 - 3x + 2)