Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de
até
(e)
;
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o comprimento de arco da curva dada pela função vetorial , no intervalo de
até
. Vamos precisar usar o cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco de curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada por
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada da função vetorial
em relação a
, e
é o módulo dessa derivada.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
, ou seja,
. Derivando cada componente:
- Para
: a derivada é - Para : a derivada é
- Para
: a derivada é
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo de
, que é:
Simplificando cada termo:
Então,
Podemos fatorar o 9 das últimas duas parcelas:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na fórmula do comprimento de arco e calcular a integral:
Fatoramos o 3 para fora da integral:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
ou
. Quando
,
; quando
,
.
Substituindo na integral:
Integrando
:
Aplicando os limites de 1 a 9:
Resposta
O comprimento de arco da curva no intervalo de
até
é
unidades.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções abaixo:
(a)
(a)
Encontre o limite ou mostre que o limite não existe usando coordenadas polares:
Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
(a)
(a)
Calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam. Se não existir, justifique.