Calcule a soma das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a soma da série infinita
. Para resolver isso, vamos usar frações parciais e o conceito de série telescópica. Frações parciais ajudam a quebrar frações mais complicadas em partes menores que são mais fáceis de somar, e séries telescópicas são aquelas onde muitos termos se cancelam, facilitando encontrar a soma total.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
usando frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação:
- Se
, então :
- Se
, então :
Então,
e
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
de volta na expressão original:
Isso nos dá:
Essa é uma série telescópica porque os termos internos vão se cancelando ao somarmos vários deles.
Passo 5
Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento:
Observamos que
,
, etc., se cancelam, restando apenas o primeiro termo
e os termos que “vai para o infinito”. Como estamos somando até o infinito, o último termo tende a zero. Portanto, a soma total é:
Resposta
A soma da série é
.