Calcule a soma das séries abaixo.
sumn=0^infty 1(4 n+1)(4 n-3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a soma da série infinita . Para resolver isso, vamos usar frações parciais e o conceito de série telescópica. Frações parciais ajudam a quebrar frações mais complicadas em partes menores que são mais fáceis de somar, e séries telescópicas são aquelas onde muitos termos se cancelam, facilitando encontrar a soma total.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 1(4n+1)(4n-3) = A4n-3 + B4n+1 usando frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por 1 = A(4n+1) + B(4n-3) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(4 cdot 34 + 1) + B(0) Rightarrow 1 = A(3 + 1) Rightarrow 1 = 4A Rightarrow A = 14
Agora, vamos resolver para 1 = A(0) + B(4 cdot -14 - 3) Rightarrow 1 = B(-1 - 3) Rightarrow 1 = -4B Rightarrow B = -14 e . Podemos escolher valores de que simplifiquem a equação:
  • Se , então :
  • Se , então :
Então, e .

Passo 4

Agora, substituímos 1(4n+1)(4n-3) = 1/44n-3 - 1/44n+1 e sumn=0^infty 1(4n+1)(4n-3) = 14 sumn=0^infty ( 14n-3 - 14n+1 ) de volta na expressão original:
Isso nos dá:
Essa é uma série telescópica porque os termos internos vão se cancelando ao somarmos vários deles.

Passo 5

Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento:
14 ( ( 1-3 - 11 ) + ( 11 - 15 ) + ( 15 - 19 ) + cdots )
Observamos que 14 ( 1-3 ) = -112 , , etc., se cancelam, restando apenas o primeiro termo e os termos que “vai para o infinito”. Como estamos somando até o infinito, o último termo tende a zero. Portanto, a soma total é:

Resposta

A soma da série é .

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