Calcule através de mudança de variáveis. , onde é o trapézio e . (Resp: 1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando mudança de variáveis. O problema pede para calcular , onde é o trapézio definido por , e . Para isso, vamos precisar entender como fazer a troca de variáveis e calcular o determinante jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher novas variáveis para simplificar a integral. Vamos definir:
Essa escolha vai facilitar a transformação da região de integração e a simplificação da função a ser integrada.

Passo 3

Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo o sistema:
Com isso, conseguimos reescrever a integral em termos de e .

Passo 4

Vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação, que é necessário para ajustar o elemento de área :
Tomamos o valor absoluto do jacobiano, então .

Passo 5

Transformamos os limites de integração. Originalmente, temos e, como e são não negativos, varia de a .

Passo 6

Substituímos tudo na integral:
Simplificamos a integral:

Passo 7

Calculamos a integral interna em :
Substituindo de volta:

Passo 8

Finalmente, calculamos a última integral:

Resposta

1

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