Calcule através de mudança de variáveis. integral duplaB cos (x-y)sen(x+y) d x d y, onde B é o trapézio 1 <= x+y <= 2, x >= 0 e y >= 0. (Resp: 1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando mudança de variáveis. O problema pede para calcular , onde é o trapézio definido por , e . Para isso, vamos precisar entender como fazer a troca de variáveis e calcular o determinante jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher novas variáveis para simplificar a integral. Vamos definir:
u = x + y
v = x - y
Essa escolha vai facilitar a transformação da região de integração e a simplificação da função a ser integrada.

Passo 3

Agora, precisamos expressar x = u + v2 e y = u - v2 em termos de e . Resolvendo o sistema:
Com isso, conseguimos reescrever a integral em termos de e .

Passo 4

Vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação, que é necessário para ajustar o elemento de área J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & 12 12 & -12 = (12) (-12) - (12) (12) = -14 - 14 = -12 :
Tomamos o valor absoluto do jacobiano, então .

Passo 5

Transformamos os limites de integração. Originalmente, temos e, como e são não negativos, varia de a .

Passo 6

Substituímos tudo na integral:
Simplificamos a integral:

Passo 7

Calculamos a integral interna em integral-u^u cos v , dv = sen v g|-u^u = sen u - sen (-u) = sen u + sen u = 2 sen u :
Substituindo de volta:

Passo 8

Finalmente, calculamos a última integral:
integral1^2 1 , du = u g|1^2 = 2 - 1 = 1

Resposta

1

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