Calcule através de mudança de variáveis. , onde é o trapézio e . (Resp: 1 )
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando mudança de variáveis. O problema pede para calcular , onde é o trapézio definido por , e . Para isso, vamos precisar entender como fazer a troca de variáveis e calcular o determinante jacobiano.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher novas variáveis para simplificar a integral. Vamos definir:
Essa escolha vai facilitar a transformação da região de integração e a simplificação da função a ser integrada.
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo o sistema:
Com isso, conseguimos reescrever a integral em termos de e .
Passo 4
Vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação, que é necessário para ajustar o elemento de área :
Tomamos o valor absoluto do jacobiano, então .
Passo 5
Transformamos os limites de integração. Originalmente, temos e, como e são não negativos, varia de a .