Calcule através de mudança de variáveis. integral0^1[integralx^2^raiz2-x^2 raizx^2+y^2 d y] d x (Resp: 13[215(1+raiz2)+raiz22 pi])

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me passou:
integral0^1[integralx^2^raiz2-x^2 raizx^2+y^2 , dy] dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente uma mudança de variáveis para facilitar a resolução. Vamos precisar usar coordenadas polares e entender como transformar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a mudança de variáveis. Quando temos uma integral complicada, às vezes é mais fácil mudar para um sistema de coordenadas que simplifique a expressão. Neste caso, como temos , as coordenadas polares são ideais, pois , onde é a distância ao ponto .

Passo 3

Nas coordenadas polares, fazemos as substituições:
x = r costheta, y = r sintheta
Também precisamos do jacobiano da transformação, que para coordenadas polares é integral integral r cdot r , dr , dtheta = integral integral r^2 , dr , dtheta . Então, nossa integral em coordenadas polares fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar os novos limites de integração. Originalmente, 0 <= r costheta <= 1, varia de 0 a 1. Para cada (r sintheta)^2 <= y^2 <= 2 - (r costheta)^2 , varia de a . Em coordenadas polares, isso corresponde a:
Isso pode ser simplificado para encontrar os limites de e .

Passo 5

Após simplificar os limites, descobrimos que integral0^pi4 integral0^1costheta r^2 , dr , dtheta + integralpi4^pi2 integral0^raiz2 r^2 , dr , dtheta varia de 0 a e de a , com variando de 0 a . Então, a integral fica dividida em duas partes:

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiramente, integramos integral r^2 , dr = r^33 em relação a 13 ( (1costheta)^3 - 0 ) = 13 cos^3theta :
13 ( (raiz2)^3 - 0 ) = 2raiz23
Aplicando os limites para a primeira parte:
E para a segunda parte:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^pi4 13 cos^3theta , dtheta + integralpi4^pi2 2raiz23 , dtheta :
A primeira integral envolve uma função que pode ser resolvida usando identidades trigonométricas ou tabelas de integrais, e a segunda é mais direta.

Passo 8

Após resolver essas integrais, combinamos os resultados:
13 [ 215(1 + raiz2) + raiz22 pi ]
Este é o valor final da integral original após a mudança de variáveis.

Resposta

13[215(1+raiz2)+raiz22 pi]

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