Calcule através de mudança de variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me passou:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente uma mudança de variáveis para facilitar a resolução. Vamos precisar usar coordenadas polares e entender como transformar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a mudança de variáveis. Quando temos uma integral complicada, às vezes é mais fácil mudar para um sistema de coordenadas que simplifique a expressão. Neste caso, como temos
, as coordenadas polares são ideais, pois
, onde
é a distância ao ponto
.
Passo 3
Nas coordenadas polares, fazemos as substituições:
Também precisamos do jacobiano da transformação, que para coordenadas polares é
. Então, nossa integral em coordenadas polares fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar os novos limites de integração. Originalmente,
varia de 0 a 1. Para cada
,
varia de
a
. Em coordenadas polares, isso corresponde a:
Isso pode ser simplificado para encontrar os limites de
e
.
Passo 5
Após simplificar os limites, descobrimos que
varia de 0 a
e de
a
, com
variando de 0 a
. Então, a integral fica dividida em duas partes:
Passo 6
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiramente, integramos
em relação a
:
Aplicando os limites para a primeira parte:
E para a segunda parte:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
A primeira integral envolve uma função que pode ser resolvida usando identidades trigonométricas ou tabelas de integrais, e a segunda é mais direta.
Passo 8
Após resolver essas integrais, combinamos os resultados:
Este é o valor final da integral original após a mudança de variáveis.
Resposta
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, onde
é o trapézio
e
. (Resp: 1 )
Calcule através de mudança de variáveis.
.
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, onde
é o paralelogramo de vértices
.