Calcule através de mudança de variáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me passou:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente uma mudança de variáveis para facilitar a resolução. Vamos precisar usar coordenadas polares e entender como transformar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a mudança de variáveis. Quando temos uma integral complicada, às vezes é mais fácil mudar para um sistema de coordenadas que simplifique a expressão. Neste caso, como temos , as coordenadas polares são ideais, pois , onde é a distância ao ponto .

Passo 3

Nas coordenadas polares, fazemos as substituições:
Também precisamos do jacobiano da transformação, que para coordenadas polares é . Então, nossa integral em coordenadas polares fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar os novos limites de integração. Originalmente, varia de 0 a 1. Para cada , varia de a . Em coordenadas polares, isso corresponde a:
Isso pode ser simplificado para encontrar os limites de e .

Passo 5

Após simplificar os limites, descobrimos que varia de 0 a e de a , com variando de 0 a . Então, a integral fica dividida em duas partes:

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiramente, integramos em relação a :
Aplicando os limites para a primeira parte:
E para a segunda parte:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
A primeira integral envolve uma função que pode ser resolvida usando identidades trigonométricas ou tabelas de integrais, e a segunda é mais direta.

Passo 8

Após resolver essas integrais, combinamos os resultados:
Este é o valor final da integral original após a mudança de variáveis.

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule através de mudança de variáveis.
Calcule através de mudança de variáveis. , onde é o trapézio e . (Resp: 1 )
Calcule através de mudança de variáveis. .
Calcule através de mudança de variáveis. , onde é o paralelogramo de vértices .