Calcule através de mudança de variáveis. integral0^1[integral0^raizx-x^2 x d y] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla usando uma mudança de variáveis. Isso envolve conceitos de cálculo como integrais duplas e substituições para simplificar a resolução. Vamos precisar entender bem os limites de integração e escolher uma substituição que facilite os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração para entender melhor a região sobre a qual estamos integrando. A integral externa é em relação a , que varia de 0 a 1. Para cada valor de , varia de 0 até . Isso define uma região no plano limitada por essas funções.

Passo 3

Observando o limite superior de , temos . Podemos reescrever isso como , o que sugere uma simetria que podemos explorar com uma mudança de variáveis adequada. Essa expressão se assemelha a uma função que pode ser simplificada com uma substituição trigonométrica, mas uma abordagem mais direta pode ser mais eficaz.

Passo 4

Antes de mergulhar na mudança de variáveis, vamos tentar resolver a integral interna em integral0^raizx - x^2 x , dy = x cdot [ y ]0^raizx - x^2 = x cdot raizx - x^2 que está dentro da integral dupla. A integral interna é integral0^1 x cdot raizx - x^2 , dx . Como é constante em relação a , podemos puxá-lo para fora da integral:
Então, a integral dupla simplifica para:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral raizx - x^2 = raizx(1 - x) = raizx cdot raiz1 - x . Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
integral0^1 x cdot raizx cdot raiz1 - x , dx = integral0^1 x^3/2 cdot (1 - x)^1/2 , dx
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Essa integral é do tipo Beta, que pode ser resolvida usando a função Beta B(a, b) = integral0^1 t^a - 1 (1 - t)^b - 1 , dt = Gamma(a) Gamma(b)Gamma(a + b) , onde:
a - 1 = 32 Rightarrow a = 52
No nosso caso, temos:
b - 1 = 12 Rightarrow b = 32
integral0^1 x^3/2 cdot (1 - x)^1/2 , dx = B(52, 32) = Gamma(52) Gamma(32)Gamma(4)
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores das funções Gamma:
Gamma(32) = raizpi2
Gamma(52) = 3raizpi4
Gamma(4) = 3! = 6
Substituindo esses valores na expressão da função Beta:
B(52, 32) = 3raizpi4 cdot raizpi26 = 3pi/86 = 3pi48 = pi16

Resposta

O valor da integral dupla é .

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