Calcule através de mudança de variáveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla usando uma mudança de variáveis. Isso envolve conceitos de cálculo como integrais duplas e substituições para simplificar a resolução. Vamos precisar entender bem os limites de integração e escolher uma substituição que facilite os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração para entender melhor a região sobre a qual estamos integrando. A integral externa é em relação a , que varia de 0 a 1. Para cada valor de , varia de 0 até . Isso define uma região no plano limitada por essas funções.

Passo 3

Observando o limite superior de , temos . Podemos reescrever isso como , o que sugere uma simetria que podemos explorar com uma mudança de variáveis adequada. Essa expressão se assemelha a uma função que pode ser simplificada com uma substituição trigonométrica, mas uma abordagem mais direta pode ser mais eficaz.

Passo 4

Antes de mergulhar na mudança de variáveis, vamos tentar resolver a integral interna em que está dentro da integral dupla. A integral interna é . Como é constante em relação a , podemos puxá-lo para fora da integral:
Então, a integral dupla simplifica para:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral . Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Essa integral é do tipo Beta, que pode ser resolvida usando a função Beta , onde:
No nosso caso, temos:
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores das funções Gamma:
Substituindo esses valores na expressão da função Beta:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Calcule através de mudança de variáveis. , onde é o trapézio e . (Resp: 1 )
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