Calcule através de mudança de variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla
usando uma mudança de variáveis. Isso envolve conceitos de cálculo como integrais duplas e substituições para simplificar a resolução. Vamos precisar entender bem os limites de integração e escolher uma substituição que facilite os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração para entender melhor a região sobre a qual estamos integrando. A integral externa é em relação a
, que varia de 0 a 1. Para cada valor de
,
varia de 0 até
. Isso define uma região no plano
limitada por essas funções.
Passo 3
Observando o limite superior de
, temos
. Podemos reescrever isso como
, o que sugere uma simetria que podemos explorar com uma mudança de variáveis adequada. Essa expressão se assemelha a uma função que pode ser simplificada com uma substituição trigonométrica, mas uma abordagem mais direta pode ser mais eficaz.
Passo 4
Antes de mergulhar na mudança de variáveis, vamos tentar resolver a integral interna em
que está dentro da integral dupla. A integral interna é
. Como
é constante em relação a
, podemos puxá-lo para fora da integral:
Então, a integral dupla simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Essa integral é do tipo Beta, que pode ser resolvida usando a função Beta
, onde:
No nosso caso, temos:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores das funções Gamma:
Substituindo esses valores na expressão da função Beta:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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, onde
é o trapézio
e
. (Resp: 1 )
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