Calcule através de mudança de variáveis. integral duplaB raiz[3]y-x1+x+y d x d y, onde B é o triângulo de vértices (0,0),(1,0),(0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre um triângulo específico usando mudança de variáveis. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especialmente integrais duplas e técnicas de substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como fazer essa mudança de variáveis e calcular o determinante Jacobiano para ajustar a área da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração integral0^1 integral0^1 - x raiz[3]y - x1 + x + y , dy , dx . O triângulo tem vértices em , e . Isso significa que varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a . Então, a integral original fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar essa integral. Vamos definir duas novas variáveis u = y - x v = 1 + x + y e :
Essa substituição ajuda a simplificar o termo e o denominador .

Passo 4

Com as novas variáveis, precisamos expressar u = y - x v = 1 + x + y e u + v = y - x + 1 + x + y = 2y + 1 Rightarrow y = u + v - 12 em termos de v - u = 1 + x + y - (y - x) = 1 + 2x Rightarrow x = v - u - 12 e . Resolvendo as equações para e :
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:

Passo 5

Agora, calculamos o determinante Jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O Jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = - 12 & 12 12 & 12 = (-12)(12) - (12)(12) = -14 - 14 = -12 é a derivada parcial de em relação a :
Tomamos o valor absoluto do Jacobiano, então .

Passo 6

Agora, precisamos determinar os novos limites de integração em termos de e . Originalmente, varia de 0 a 1 e de 0 a .
Usando as substituições:
  • Quando , , e .
  • Quando , , e .
  • Quando , e .
Portanto, varia de 1 a 2. Para cada , varia de a .

Passo 7

Agora, reescrevemos a integral em termos de integral duplaB raiz[3]uv cdot 12 , du , dv = 12 integral1^2 integral-(v - 1)^v - 1 raiz[3]uv , du , dv e :

Passo 8

Observando a função integral-(v - 1)^v - 1 raiz[3]u , du = 0 , percebemos que é uma função ímpar, ou seja, . Integrando uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero resulta em zero. Portanto:

Passo 9

Como o integrando interno é zero, toda a integral dupla também será zero:
12 integral1^2 0 cdot 1v , dv = 0

Resposta

A integral dupla vale .

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