Calcule através de mudança de variáveis. , onde é o triângulo de vértices .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre um triângulo específico usando mudança de variáveis. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especialmente integrais duplas e técnicas de substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como fazer essa mudança de variáveis e calcular o determinante Jacobiano para ajustar a área da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração . O triângulo tem vértices em , e . Isso significa que varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a . Então, a integral original fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar essa integral. Vamos definir duas novas variáveis e :
Essa substituição ajuda a simplificar o termo e o denominador .
Passo 4
Com as novas variáveis, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo as equações para e :
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Passo 5
Agora, calculamos o determinante Jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O Jacobiano é a derivada parcial de em relação a :
Tomamos o valor absoluto do Jacobiano, então .
Passo 6
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração em termos de e . Originalmente, varia de 0 a 1 e de 0 a .
Usando as substituições:
Quando , , e .
Quando , , e .
Quando , e .
Portanto, varia de 1 a 2. Para cada , varia de a .
Passo 7
Agora, reescrevemos a integral em termos de integral duplaB raiz[3]uv cdot 12 , du , dv = 12 integral1^2 integral-(v - 1)^v - 1 raiz[3]uv , du , dv e :
Passo 8
Observando a função integral-(v - 1)^v - 1 raiz[3]u , du = 0 , percebemos que é uma função ímpar, ou seja, . Integrando uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero resulta em zero. Portanto:
Passo 9
Como o integrando interno é zero, toda a integral dupla também será zero: