Calcule através de mudança de variáveis.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cálculo de uma integral dupla usando mudança de variáveis. A integral é:
Aqui, vamos precisar de conhecimentos de cálculo multivariado, especificamente sobre integrais duplas e mudanças de coordenadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida sobre de 0 a e, para cada , vai de 0 a . Isso descreve um quarto de círculo no primeiro quadrante com raio .

Passo 3

Observamos que a função dentro da integral é , que representa a altura de um semiesfera de raio acima do círculo que estamos integrando. Isso sugere que podemos simplificar a integral usando coordenadas polares.

Passo 4

Vamos mudar para coordenadas polares onde:
Aqui, é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 5

Com essa mudança, os limites de integração também mudam. Como estamos no primeiro quadrante e dentro do quarto de círculo:

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral original em coordenadas polares:
Aqui, vem da substituição de e na função original, e é o Jacobiano da transformação.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Para isso, fazemos uma substituição:
Mudando os limites:

Passo 8

Substituindo na integral:
Calculando a integral:

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral externa:

Resposta

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