Calcule através de mudança de variáveis.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cálculo de uma integral dupla usando mudança de variáveis. A integral é:
Aqui, vamos precisar de conhecimentos de cálculo multivariado, especificamente sobre integrais duplas e mudanças de coordenadas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida sobre
de 0 a
e, para cada
,
vai de 0 a
. Isso descreve um quarto de círculo no primeiro quadrante com raio
.
Passo 3
Observamos que a função dentro da integral é
, que representa a altura de um semiesfera de raio
acima do círculo que estamos integrando. Isso sugere que podemos simplificar a integral usando coordenadas polares.
Passo 4
Vamos mudar para coordenadas polares onde:
Aqui,
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 5
Com essa mudança, os limites de integração também mudam. Como estamos no primeiro quadrante e dentro do quarto de círculo:
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral original em coordenadas polares:
Aqui,
vem da substituição de
e
na função original, e
é o Jacobiano da transformação.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Para isso, fazemos uma substituição:
Mudando os limites:
Passo 8
Substituindo na integral:
Calculando a integral:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Resposta
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Calcule através de mudança de variáveis.
, onde
é o triângulo de vértices
.
Calcule através de mudança de variáveis.
Calcule através de mudança de variáveis.
, onde
é o trapézio
e
. (Resp: 1 )
Calcule através de mudança de variáveis.