Calcule através de mudança de variáveis. integral0^a[integral0^raiza^2-x^2 raiza^2-x^2-y^2 d y] d x (a>0) (Resp: a^3 pi6)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cálculo de uma integral dupla usando mudança de variáveis. A integral é:
integral0^a[integral0^raiza^2-x^2 raiza^2-x^2-y^2 , dy] dx (a > 0)
Aqui, vamos precisar de conhecimentos de cálculo multivariado, especificamente sobre integrais duplas e mudanças de coordenadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida sobre de 0 a e, para cada , vai de 0 a . Isso descreve um quarto de círculo no primeiro quadrante com raio .

Passo 3

Observamos que a função dentro da integral é , que representa a altura de um semiesfera de raio acima do círculo que estamos integrando. Isso sugere que podemos simplificar a integral usando coordenadas polares.

Passo 4

Vamos mudar para coordenadas polares onde:
x = r costheta
y = r sintheta
dx,dy = r , dr,dtheta
Aqui, é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 5

Com essa mudança, os limites de integração também mudam. Como estamos no primeiro quadrante e dentro do quarto de círculo:
theta: 0 a pi2
r: 0 a a

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral original em coordenadas polares:
integral0^pi2 integral0^a raiza^2 - r^2 cdot r , dr,dtheta
Aqui, vem da substituição de e na função original, e é o Jacobiano da transformação.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^a r raiza^2 - r^2 , dr :
u = a^2 - r^2 Rightarrow du = -2r,dr Rightarrow r,dr = -12 du
Para isso, fazemos uma substituição:
r = 0 Rightarrow u = a^2
Mudando os limites:
r = a Rightarrow u = 0

Passo 8

Substituindo na integral:
-12 integrala^2^0 raizu , du = 12 integral0^a^2 raizu , du
Calculando a integral:
12 [ 23 u^32 ]0^a^2 = 12 cdot 23 ( a^3 - 0 ) = a^33

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^pi2 a^33 , dtheta = a^33 cdot [ theta ]0^pi2 = a^33 cdot pi2 = a^3 pi6

Resposta

a^3 pi6

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