Calcule através de mudança de variáveis. , onde é o paralelogramo de vértices e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla onde é um paralelogramo com vértices em , , e . Para isso, vamos usar o método de mudança de variáveis, que ajuda a simplificar a região de integração e a função que vamos integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da região . Observando os vértices, vemos que o paralelogramo está centrado na origem e suas arestas são paralelas aos vetores e . Para facilitar a integração, vamos escolher uma transformação que mapeie esse paralelogramo para um retângulo no novo sistema de coordenadas.
Passo 3
Vamos definir as novas variáveis e de forma que:
Essa transformação mapeia o paralelogramo para um retângulo no plano , onde e variam de 0 a 1.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 5
Com a mudança de variáveis e o jacobiano calculado, a integral original se transforma em: