Calcule através de mudança de variáveis. , onde é o paralelogramo de vértices e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla onde é um paralelogramo com vértices em , , e . Para isso, vamos usar o método de mudança de variáveis, que ajuda a simplificar a região de integração e a função que vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da região . Observando os vértices, vemos que o paralelogramo está centrado na origem e suas arestas são paralelas aos vetores e . Para facilitar a integração, vamos escolher uma transformação que mapeie esse paralelogramo para um retângulo no novo sistema de coordenadas.

Passo 3

Vamos definir as novas variáveis e de forma que:
Essa transformação mapeia o paralelogramo para um retângulo no plano , onde e variam de 0 a 1.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 5

Com a mudança de variáveis e o jacobiano calculado, a integral original se transforma em:
Simplificando a expressão dentro da raiz cúbica:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar separadamente em e :
Calculando cada integral:
Multiplicando tudo:
Simplificando, como , temos:

Resposta

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Calcule através de mudança de variáveis.
Calcule através de mudança de variáveis. , onde é o triângulo de vértices .