Calcule através de mudança de variáveis. , onde é o paralelogramo de vértices e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla onde é um paralelogramo com vértices em , , e . Para isso, vamos usar o método de mudança de variáveis, que ajuda a simplificar a região de integração e a função que vamos integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da região . Observando os vértices, vemos que o paralelogramo está centrado na origem e suas arestas são paralelas aos vetores e . Para facilitar a integração, vamos escolher uma transformação que mapeie esse paralelogramo para um retângulo no novo sistema de coordenadas.
Passo 3
Vamos definir as novas variáveis e de forma que:
Essa transformação mapeia o paralelogramo para um retângulo no plano , onde e variam de 0 a 1.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = -12
partial ypartial u = 12, partial ypartial v = 12
Então,
J = (12 times 12) - (-12 times 12) = 14 + 14 = 12
Passo 5
Com a mudança de variáveis e o jacobiano calculado, a integral original se transforma em:
integral duplaB raiz[3]y^2-x^2 , dx , dy = integral duplaR raiz[3](12u + 12v)^2 - (12u - 12v)^2 times 12 , du , dv
Simplificando a expressão dentro da raiz cúbica:
(12u + 12v)^2 - (12u - 12v)^2 = 2 times 12u times 12v = 12uv
Portanto, a integral fica:
12 integral duplaR raiz[3]12uv , du , dv
Passo 6
Agora, vamos integrar separadamente em u e v:
12 times (integral0^1 raiz[3]12u , du) times (integral0^1 raiz[3]v , dv)
Calculando cada integral:
integral0^1 raiz[3]12u , du = 12^1/3 times 34 = 34 times 2^1/3
integral0^1 raiz[3]v , dv = 34
Multiplicando tudo:
12 times 34 times 2^1/3 times 34 = 932 times 2^1/3