Beleza, vamos resolver esse exercício de integração dupla usando mudança de variáveis. O enunciado pede para calcular a integral
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integração dupla. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer mudanças de variáveis, o que pode simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral interna está em relação a , variando de até . Isso sugere que estamos lidando com uma região que tem simetria circular, já que aparece , que é a equação de um círculo de raio 1.
Passo 3
Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável que simplifique os limites de integração. Vamos definir:
Essa mudança desloca o sistema de coordenadas para que o centro do círculo fique na origem para a variável .
Passo 4
Com essa mudança, precisamos expressar e em termos de e :
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral.
Passo 5
O jacobiano é dado por:
Então, .
Passo 6
Agora, vamos reescrever os limites de integração em termos de v = y - 1 = pm raiz1 - u^2 e .
Como varia de 0 a 1, temos variando de 0 a 1.
Para , implica que:
Portanto, varia de a .
Passo 7
Agora, substituímos tudo na integral original:
integral0^1 [ integral-raiz1 - u^2^raiz1 - u^2 u (v + 1) , dv ] du
Vamos agora resolver a integral interna em relação a .
Passo 8
Resolvendo a integral interna:
integral-raiz1 - u^2^raiz1 - u^2 u (v + 1) , dv = u [ integral-raiz1 - u^2^raiz1 - u^2 v , dv + integral-raiz1 - u^2^raiz1 - u^2 1 , dv ]
A primeira integral de u [ 0 + integral-raiz1 - u^2^raiz1 - u^2 1 , dv ] = u [ 2 raiz1 - u^2 ] = 2 u raiz1 - u^2 é zero devido à simetria, então sobra:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^1 2 u raiz1 - u^2 , du
Vamos resolver essa integral usando substituição. Seja , então , ou seja, .