Calcule através de mudança de variáveis. integral0^1[integral1-raiz1-x^2^1+raiz1-x^2 x y d y] d x (Resp: 23)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integração dupla usando mudança de variáveis. O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1[integral1-raiz1-x^2^1+raiz1-x^2 x y , dy] dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integração dupla. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer mudanças de variáveis, o que pode simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral interna está em relação a , variando de até . Isso sugere que estamos lidando com uma região que tem simetria circular, já que aparece , que é a equação de um círculo de raio 1.

Passo 3

Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável que simplifique os limites de integração. Vamos definir:
u = x
v = y - 1
Essa mudança desloca o sistema de coordenadas para que o centro do círculo fique na origem para a variável .

Passo 4

Com essa mudança, precisamos expressar x = u e y = v + 1 em termos de e :
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral.

Passo 5

O jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 1 & 0 0 & 1 = 1 é dado por:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos reescrever os limites de integração em termos de v = y - 1 = pm raiz1 - u^2 e .
Como varia de 0 a 1, temos variando de 0 a 1.
Para , implica que:
Portanto, varia de a .

Passo 7

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral0^1 [ integral-raiz1 - u^2^raiz1 - u^2 u (v + 1) , dv ] du
Vamos agora resolver a integral interna em relação a .

Passo 8

Resolvendo a integral interna:
integral-raiz1 - u^2^raiz1 - u^2 u (v + 1) , dv = u [ integral-raiz1 - u^2^raiz1 - u^2 v , dv + integral-raiz1 - u^2^raiz1 - u^2 1 , dv ]
A primeira integral de u [ 0 + integral-raiz1 - u^2^raiz1 - u^2 1 , dv ] = u [ 2 raiz1 - u^2 ] = 2 u raiz1 - u^2 é zero devido à simetria, então sobra:

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^1 2 u raiz1 - u^2 , du
Vamos resolver essa integral usando substituição. Seja , então , ou seja, .

Passo 10

Substituindo na integral:
2 integral0^1 u raiz1 - u^2 , du = 2 ( -12 integral1^0 raizw , dw ) = 2 ( 12 integral0^1 raizw , dw ) = integral0^1 w^1/2 , dw
Integrando:
integral0^1 w^1/2 , dw = [ 23 w^3/2 ]0^1 = 23 (1^3/2 - 0) = 23

Resposta

23

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