Calcule através de mudança de variáveis. , onde é o paralelogramo de vértices .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla , onde é um paralelogramo com os vértices em , , e . Vamos usar mudança de variáveis pra facilitar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma mudança de variáveis que alinhe com os lados do paralelogramo. Vamos definir:
Isso ajuda a transformar o paralelogramo em um retângulo no plano .
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . A partir das equações:
Resolvendo, temos:
Passo 4
Vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. As derivadas parciais ficam:
Então, o jacobiano é:
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração no novo sistema de coordenadas e . Calculando para cada vértice:
Para : ,
Para : ,
Para : ,
Para : ,
Então, varia de a e também varia de a .
Passo 6
Vamos reescrever a integral usando as novas variáveis:
integral duplaD(2x + y)cos(x - y) ,dx,dy = integral duplaR v cos(u) cdot 13 ,du,dv
Onde é o retângulo com e variando de a .
Passo 7
Vamos separar a integral:
13 integral0^pi integral0^pi v cos(u) ,dv,du
Primeiro, integramos em relação a integral0^pi v ,dv = v^22|0^pi = pi^22 :
Passo 8
Agora, integramos em relação a 13 cdot pi^22 integral0^pi cos(u) ,du = pi^26 sin(u)|0^pi = pi^26 (0 - 0) = 0 :