Calcule através de mudança de variáveis. , onde é o paralelogramo de vértices .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla , onde é um paralelogramo com os vértices em , , e . Vamos usar mudança de variáveis pra facilitar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma mudança de variáveis que alinhe com os lados do paralelogramo. Vamos definir:
Isso ajuda a transformar o paralelogramo em um retângulo no plano .
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . A partir das equações:
Resolvendo, temos:
Passo 4
Vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. As derivadas parciais ficam:
Então, o jacobiano é:
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração no novo sistema de coordenadas e . Calculando para cada vértice:
Para : ,
Para : ,
Para : ,
Para : ,
Então, varia de a e também varia de a .
Passo 6
Vamos reescrever a integral usando as novas variáveis: