Calcule através de mudança de variáveis. integral duplaD(2 x+y) cos (x-y) d x d y, onde B é o paralelogramo de vértices (0,0),(pi3, pi3),(2 pi3, -pi3) e(pi3, -2 pi3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla , onde é um paralelogramo com os vértices em , , e . Vamos usar mudança de variáveis pra facilitar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma mudança de variáveis que alinhe com os lados do paralelogramo. Vamos definir:
u = x - y
v = 2x + y
Isso ajuda a transformar o paralelogramo em um retângulo no plano .

Passo 3

Agora, precisamos expressar u = x - y e v = 2x + y e x = u + v3 em termos de y = v - 2u3 e . A partir das equações:
Resolvendo, temos:

Passo 4

Vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. As derivadas parciais ficam:
partial xpartial u = 13, partial xpartial v = 13
partial ypartial u = -23, partial ypartial v = 13
Então, o jacobiano J = | cc 13 & 13 -23 & 13 | = 13 cdot 13 - 13 cdot (-23) = 19 + 29 = 13 é:

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração no novo sistema de coordenadas e . Calculando para cada vértice:
  • Para : ,
  • Para : ,
  • Para : ,
  • Para : ,
Então, varia de a e também varia de a .

Passo 6

Vamos reescrever a integral usando as novas variáveis:
integral duplaD(2x + y)cos(x - y) ,dx,dy = integral duplaR v cos(u) cdot 13 ,du,dv
Onde é o retângulo com e variando de a .

Passo 7

Vamos separar a integral:
13 integral0^pi integral0^pi v cos(u) ,dv,du
Primeiro, integramos em relação a integral0^pi v ,dv = v^22|0^pi = pi^22 :

Passo 8

Agora, integramos em relação a 13 cdot pi^22 integral0^pi cos(u) ,du = pi^26 sin(u)|0^pi = pi^26 (0 - 0) = 0 :

Resposta

O valor da integral é .

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