Calcule através de mudança de variáveis. , onde é o paralelogramo de vértices .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla , onde é um paralelogramo com os vértices em , , e . Vamos usar mudança de variáveis pra facilitar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma mudança de variáveis que alinhe com os lados do paralelogramo. Vamos definir:
Isso ajuda a transformar o paralelogramo em um retângulo no plano .

Passo 3

Agora, precisamos expressar e em termos de e . A partir das equações:
Resolvendo, temos:

Passo 4

Vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. As derivadas parciais ficam:
Então, o jacobiano é:

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração no novo sistema de coordenadas e . Calculando para cada vértice:
  • Para : ,
  • Para : ,
  • Para : ,
  • Para : ,
Então, varia de a e também varia de a .

Passo 6

Vamos reescrever a integral usando as novas variáveis:
Onde é o retângulo com e variando de a .

Passo 7

Vamos separar a integral:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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