Calcule através de mudança de variáveis. integral0^a[integral0^x raizx^2+y^2 d y] d x (a>0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla usando mudança de variáveis. A integral é , onde . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente, mudança de variáveis para simplificar a integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a integral para coordenadas mais convenientes, como as coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos e . Isso significa que estamos integrando sobre uma área triangular no primeiro quadrante, onde varia de 0 até , e varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares porque a expressão x = r costheta e y = r sintheta sugere que as coordenadas polares podem simplificar a integral. Em coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área se transforma em .

Passo 4

Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. O limite superior de é , já que vai até . O ângulo varia de a porque implica , ou seja, .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral0^a[integral0^x raizx^2+y^2 , dy] dx = integral0^pi4 integral0^acostheta r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi4 integral0^acostheta r^2 , dr , dtheta
Integrando em integral0^acostheta r^2 , dr = [r^33]0^acostheta = a^33 cos^3theta :
a^33 integral0^pi4 1cos^3theta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 6

Para resolver integral sec^3theta , dtheta = 12 sectheta tantheta + 12 ln |sectheta + tantheta| | + C , lembramos que [12 sectheta tantheta + 12 ln |sectheta + tantheta|]0^pi4 = 12 raiz2 cdot 1 + 12 ln (raiz2 + 1) - 0 = raiz22 + 12 ln (raiz2 + 1) , cuja integral é conhecida:
Aplicando os limites de a :

Resposta

A integral dupla vale:
a^33 ( raiz22 + 12 ln (raiz2 + 1) )
Simplificando, temos:
a^36 ( raiz2 + ln (raiz2 + 1) )

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