Calcule através de mudança de variáveis. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla usando mudança de variáveis. A integral é , onde . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente, mudança de variáveis para simplificar a integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a integral para coordenadas mais convenientes, como as coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos e . Isso significa que estamos integrando sobre uma área triangular no primeiro quadrante, onde varia de 0 até , e varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares porque a expressão sugere que as coordenadas polares podem simplificar a integral. Em coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área se transforma em .

Passo 4

Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. O limite superior de é , já que vai até . O ângulo varia de a porque implica , ou seja, .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
Integrando em :
Então, a integral fica:

Passo 6

Para resolver , lembramos que , cuja integral é conhecida:
Aplicando os limites de a :

Resposta

A integral dupla vale:
Simplificando, temos:

Exercícios relacionados

Calcule através de mudança de variáveis.
Calcule através de mudança de variáveis.
Calcule através de mudança de variáveis. , onde é o paralelogramo de vértices .
Sejam e e e . Verifique que , onde , com e .