Calcule através de mudança de variáveis.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla usando mudança de variáveis. A integral é
, onde
. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente, mudança de variáveis para simplificar a integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a integral para coordenadas mais convenientes, como as coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
e
. Isso significa que estamos integrando sobre uma área triangular no primeiro quadrante, onde
varia de 0 até
, e
varia de 0 até
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares porque a expressão
sugere que as coordenadas polares podem simplificar a integral. Em coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área
se transforma em
.
Passo 4
Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. O limite superior de
é
, já que
vai até
. O ângulo
varia de
a
porque
implica
, ou seja,
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original:
Integrando em
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver
, lembramos que
, cuja integral é conhecida:
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
A integral dupla vale:
Simplificando, temos:
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, onde
é o paralelogramo de vértices
.
Sejam
e
e
e
. Verifique que
, onde
, com
e
.