Sejam A = {(x, y) ∈ R² | 1 + x² ≤ y ≤ 2 + x², x ≥ 0} e y ≥ x + x² e B = {(u, v) ∈ R² | 1 <= v <= 2, v >= u} e u ≥ 0. Verifique que B = T(A), onde (u, v) = T(x, y), com u = x e v = y - x^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos dois conjuntos e definidos no plano com certas condições. A função de transformação está definida por . O objetivo é verificar se é a imagem de através dessa transformação, ou seja, se .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que para todo ponto em , existe um ponto em tal que e . Vamos verificar isso passo a passo.

Passo 3

Vamos começar descrevendo o conjunto :
Isso significa que para , está entre e , e também deve ser maior ou igual a .

Passo 4

Agora, vamos descrever o conjunto :
Aqui, deve ser maior ou igual a 0, está entre 1 e 2, e deve ser pelo menos igual a .

Passo 5

Aplicando a transformação em , temos e . Vamos substituir isso nas condições de :
  1. se torna .
  2. se torna , ou seja, .
  3. se torna .

Passo 6

Simplificando, as condições após a transformação ficam:
Essas são exatamente as condições definidas para o conjunto .

Passo 7

Portanto, mostramos que ao aplicar em qualquer ponto de , obtemos um ponto que satisfaz as condições de . Isso confirma que .

Resposta

Concluímos que , ou seja, o conjunto é a imagem do conjunto através da transformação .

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