Sejam
e
e
e
. Verifique que
, onde
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos dois conjuntos
e
definidos no plano
com certas condições. A função de transformação
está definida por
. O objetivo é verificar se
é a imagem de
através dessa transformação, ou seja, se
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que para todo ponto
em
, existe um ponto
em
tal que
e
. Vamos verificar isso passo a passo.
Passo 3
Vamos começar descrevendo o conjunto
:
Isso significa que para
,
está entre
e
, e também
deve ser maior ou igual a
.
Passo 4
Agora, vamos descrever o conjunto
:
Aqui,
deve ser maior ou igual a 0,
está entre 1 e 2, e
deve ser pelo menos igual a
.
Passo 5
Aplicando a transformação
em
, temos
e
. Vamos substituir isso nas condições de
:
-
se torna . -
se torna , ou seja, . -
se torna .
Passo 6
Simplificando, as condições após a transformação ficam:
Essas são exatamente as condições definidas para o conjunto
.
Passo 7
Portanto, mostramos que ao aplicar
em qualquer ponto de
, obtemos um ponto que satisfaz as condições de
. Isso confirma que
.
Resposta
Concluímos que
, ou seja, o conjunto
é a imagem do conjunto
através da transformação
.
Exercícios relacionados
Calcule através de mudança de variáveis.
, onde
é o paralelogramo de vértices
.
Calcule através de mudança de variáveis.
.
Desenhar as curvas de nível
para os valores de
dado:
Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: