Calcule os auto valores e autovetores dars transformacoers lineares. T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(x+y, 2 x+y)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular os autovalores e autovetores de uma transformação linear. A matéria envolvida é Álgebra Linear, especificamente o estudo de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores e como encontrá-los a partir da matriz da transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz. Sabemos que T(x, y) = (x + y, 2x + y), então a matriz associada a T é:
A = 1 & 1 2 & 1

Passo 3

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz A. A equação característica é dada por:
det(A - lambda I) = 0
onde lambda representa os autovalores e I é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos calcular a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 1 - lambda & 1 2 & 1 - lambda

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (2)(1) = (1 - lambda)^2 - 2

Passo 6

Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(1 - lambda)^2 - 2 = 0 (1 - lambda)^2 = 2 1 - lambda = pm raiz2 lambda = 1 mp raiz2
Então, os autovalores são lambda1 = 1 + raiz2 e lambda2 = 1 - raiz2.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada lambda, resolvemos o sistema (A - lambda I)v = 0, onde v é o autovetor.

Passo 8

Primeiro, para lambda1 = 1 + raiz2:
A - lambda1 I = 1 - (1 + raiz2) & 1 2 & 1 - (1 + raiz2) = - raiz2 & 1 2 & - raiz2
Resolvendo o sistema:
- raiz2 x + y = 0 2x - raiz2 y = 0
Da primeira equação, y = raiz2 x. Podemos escolher x = 1, então y = raiz2.
Portanto, um autovetor correspondente a lambda1 é:
v1 = 1 raiz2

Passo 9

Agora, para lambda2 = 1 - raiz2:
A - lambda2 I = 1 - (1 - raiz2) & 1 2 & 1 - (1 - raiz2) = raiz2 & 1 2 & raiz2
Resolvendo o sistema:
raiz2 x + y = 0 2x + raiz2 y = 0
Da primeira equação, y = -raiz2 x. Podemos escolher x = 1, então y = -raiz2.
Portanto, um autovetor correspondente a lambda2 é:
v2 = 1 - raiz2

Resposta

Os autovalores são lambda1 = 1 + raiz2 e lambda2 = 1 - raiz2, com os respectivos autovetores:
v1 = 1 raiz2 , v2 = 1 - raiz2

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