Calcule os auto valores e autovetores dars transformacoers lineares.
tal que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular os autovalores e autovetores de uma transformação linear. A matéria envolvida é Álgebra Linear, especificamente o estudo de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores e como encontrá-los a partir da matriz da transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear
como uma matriz. Sabemos que
, então a matriz associada a
é:
Passo 3
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz
. A equação característica é dada por:
onde
representa os autovalores e
é a matriz identidade.
Passo 4
Vamos calcular a matriz
:
Passo 5
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 6
Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
, resolvemos o sistema
, onde
é o autovetor.
Passo 8
Primeiro, para
:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação,
. Podemos escolher
, então
.
Portanto, um autovetor correspondente a
é:
Passo 9
Agora, para
:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação,
. Podemos escolher
, então
.
Portanto, um autovetor correspondente a
é:
Resposta
Os autovalores são
e
, com os respectivos autovetores: