Classifique e determine o conjunto solução de cada sistema de equações lineares abaixo:
© cx+y+z=4 2 x+5 y-2 z=3 x+7 y-7 z=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . Nosso objetivo é classificar esse sistema e encontrar o conjunto solução, ou seja, os valores de , e que satisfazem todas as equações simultaneamente. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que é uma maneira de simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais organizada:
x + y + z = 4 (Equação 1) 2x + 5y - 2z = 3 (Equação 2) x + 7y - 7z = 5 (Equação 3) çãçãçã
Nosso plano é eliminar uma das variáveis de duas equações para facilitar a resolução. Vamos começar eliminando .

Passo 3

Para eliminar (2x + 5y - 2z) - (x + y + z) = 3 - 4 2x - x + 5y - y - 2z - z = -1 x + 4y - 3z = -1 (Equação 4) , vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 e também da Equação 3.
Primeiro, Equação 2 menos Equação 1:
(x + 7y - 7z) - (x + y + z) = 5 - 4 x - x + 7y - y - 7z - z = 1 6y - 8z = 1 (Equação 5) çã
Agora, Equação 3 menos Equação 1:
çã
Agora temos um sistema reduzido com as Equações 4 e 5.

Passo 4

Vamos focar nas Equações 4 e 5:
x + 4y - 3z = -1 (Equação 4) 6y - 8z = 1 (Equação 5) çãçã
Podemos resolver a Equação 5 para uma variável em termos da outra. Vamos resolver para 6y - 8z = 1 6y = 8z + 1 y = 8z + 16 (Expressão para y ) :
ã

Passo 5

Agora que temos x + 4(8z + 16) - 3z = -1 x + 32z + 46 - 3z = -1 em termos de x + 32z + 46 - 3z = -1 x + 32z6 + 46 - 3z = -1 x + 16z3 + 23 - 3z = -1 , vamos substituir essa expressão na Equação 4 para encontrar x + (16z3 - 3z) + 23 = -1 x + (16z - 9z3) + 23 = -1 x + 7z3 + 23 = -1 .
Substituindo x = -1 - 7z3 - 23 x = -33 - 7z3 - 23 x = -53 - 7z3 x = -5 + 7z3 na Equação 4:
Vamos simplificar:
Agora, combinando os termos com :
Agora isolamos :

Passo 6

Agora temos x = -5 + 7z3 y = 8z + 16 z = z (livre) e em termos de . Para encontrar valores numéricos, precisamos de mais informações. Normalmente, em sistemas com três equações e três incógnitas, podemos resolver completamente. No entanto, após a eliminação, percebemos que não há uma terceira equação independente para restringir . Isso indica que o sistema tem infinitas soluções, ou seja, é dependente e compatível.
Podemos expressar as soluções em função de , que pode ser qualquer número real. Assim, o conjunto solução é:

Resposta

O sistema possui infinitas soluções e o conjunto solução é dado por:
x = -5 + 7z3, y = 8z + 16, z in R

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