subespaços de R^4
b) Exiba uma base para W1 cap W2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base para a interseção dos subespaços e em . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especialmente sobre subespaços vetoriais e suas interseções. Para resolver, vamos precisar usar sistemas de equações lineares e entender como encontrar vetores que satisfazem todas as condições de e ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada subespaço:
Aqui, qualquer vetor em deve satisfazer as duas equações: e .
Para , os vetores devem satisfazer a equação .
Passo 3
Para encontrar , precisamos encontrar todos os vetores que pertencem a ambos os subespaços, ou seja, que satisfazem todas as três equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, da equação y = -x , podemos expressar t = z em termos de :
Da equação , podemos expressar em termos de :
Passo 5
Agora, substituímos x - (-x) - z + z = 0 e x + x - z + z = 0 na terceira equação 2x = 0 :
x = 0
Isso nos dá:
Passo 6
Com y = -x = -0 = 0 , podemos encontrar t = z e :
Passo 7
Portanto, os vetores em (0, 0, z, z) são da forma:
Podemos parametrizar como um parâmetro livre , onde é um número real.
Passo 8
Assim, qualquer vetor em (0, 0, lambda, lambda) = lambda cdot (0, 0, 1, 1) pode ser escrito como: