Sejam e e
subespaços de
b) Exiba uma base para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base para a interseção dos subespaços e em . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especialmente sobre subespaços vetoriais e suas interseções. Para resolver, vamos precisar usar sistemas de equações lineares e entender como encontrar vetores que satisfazem todas as condições de e ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada subespaço:
  • Aqui, qualquer vetor em deve satisfazer as duas equações: e .
  • Para , os vetores devem satisfazer a equação .

Passo 3

Para encontrar , precisamos encontrar todos os vetores que pertencem a ambos os subespaços, ou seja, que satisfazem todas as três equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, da equação , podemos expressar em termos de :
Da equação , podemos expressar em termos de :

Passo 5

Agora, substituímos e na terceira equação :
Isso nos dá:

Passo 6

Com , podemos encontrar e :

Passo 7

Portanto, os vetores em são da forma:
Podemos parametrizar como um parâmetro livre , onde é um número real.

Passo 8

Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como:

Resposta

Uma base para é .

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