Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por Calcule e , com e e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o exercício juntos! A gente tem dois pares ordenados de números reais, e , e uma constante . A matéria aqui envolve operações básicas em pares ordenados: adição e multiplicação por um escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . A definição dada para a soma de dois vetores e é:
Isso significa que somamos as componentes correspondentes dos pares ordenados.

Passo 3

Aplicando os valores de e :
Então, a soma dos vetores e resulta no par ordenado .

Passo 4

Agora, vamos calcular . A definição dada para a multiplicação de um vetor por um escalar é:
Aqui, apenas a segunda componente do vetor é multiplicada pelo escalar, e a primeira componente é zero.

Passo 5

Aplicando os valores de e :
Portanto, a multiplicação do vetor pelo escalar resulta no par ordenado .

Resposta

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Para cada um dos sistemas lineares:
(II)
(a) Escreva as matrizes associadas ao sistema de modo que o mesmo assuma a forma matricial .
Sejam e e
subespaços de
b) Exiba uma base para .
Verifique se os conjuntos abaixo são espaço vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão: