Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor na base do espaço . Isso envolve conceitos de mudança de base e combinação linear. Vamos precisar montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes que, quando aplicados aos vetores da base, resultam no vetor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que estamos procurando três números, digamos , e , que multiplicam os vetores da base de forma que:
Isso significa que cada componente dos vetores deve ser igual após a combinação linear.
Passo 3
Vamos traduzir essa combinação linear em um sistema de equações. Isso fica assim:
Simplificando, temos:
c1 + c2 + 2c3 = 4 c1 = 3 c1 + c2 - c3 = 7
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema passo a passo. Sabemos que c1 = 3 (da segunda equação). Substituindo c1 nas outras equações: