Considere a base beta=(1,1,1),(1,0,1),(2,0,-1) de R^3. Determine: [(4,3,7)]beta;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor (4, 3, 7) na base beta = (1,1,1), (1,0,1), (2,0,-1) do espaço R^3. Isso envolve conceitos de mudança de base e combinação linear. Vamos precisar montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes que, quando aplicados aos vetores da base, resultam no vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos procurando três números, digamos c1, c2 e c3, que multiplicam os vetores da base beta de forma que:
c1 cdot (1,1,1) + c2 cdot (1,0,1) + c3 cdot (2,0,-1) = (4,3,7)
Isso significa que cada componente dos vetores deve ser igual após a combinação linear.

Passo 3

Vamos traduzir essa combinação linear em um sistema de equações. Isso fica assim:
c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot 2 = 4 c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 0 = 3 c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot (-1) = 7
Simplificando, temos:
c1 + c2 + 2c3 = 4 c1 = 3 c1 + c2 - c3 = 7

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema passo a passo. Sabemos que c1 = 3 (da segunda equação). Substituindo c1 nas outras equações:
  1. Na primeira equação:
3 + c2 + 2c3 = 4 Rightarrow c2 + 2c3 = 1 (Equação A) çã
  1. Na terceira equação:
3 + c2 - c3 = 7 Rightarrow c2 - c3 = 4 (Equação B) çã
Agora, temos um sistema com duas equações:
c2 + 2c3 = 1 (A) c2 - c3 = 4 (B)
Vamos resolver isso. Subtraindo a Equação B da Equação A:
(c2 + 2c3) - (c2 - c3) = 1 - 4 Rightarrow 3c3 = -3 Rightarrow c3 = -1
Agora, substituindo c3 = -1 na Equação B:
c2 - (-1) = 4 Rightarrow c2 + 1 = 4 Rightarrow c2 = 3

Resposta

As coordenadas de (4, 3, 7) na base beta são:
[(4, 3, 7)]beta = 3 3 -1

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