Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos dá uma base e dois vetores e . Precisamos encontrar as coordenadas desses vetores tanto na base padrão (que a gente chama de ) quanto na base . Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em diferentes bases e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes corretos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar . A base padrão no é , então as coordenadas de qualquer vetor nessa base são simplesmente os próprios componentes do vetor. Portanto, para o vetor :
Passo 3
Agora, vamos encontrar v = a(1,1,1) + b(0,1,1) + c(0,0,1) . Isso significa que queremos escrever o vetor (1,2,2) = (a, a, a) + (0, b, b) + (0, 0, c) = (a, a + b, a + b + c) como uma combinação linear dos vetores da base a = 1 a + b = 2 a + b + c = 2 . Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Vamos expandir essa equação:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Já sabemos que 1 + b = 2 implies b = 1 . Substituindo na segunda equação:
1 + 1 + c = 2 implies c = 0
Agora, substituindo e na terceira equação:
Portanto, os coeficientes são , e .
Passo 5
Então, as coordenadas de [v]beta = 1 1 0 na base são:
Passo 6
Vamos repetir o mesmo processo para o vetor [w]epsilon = 1 1 0 .
Primeiro, na base padrão :
Passo 7
Agora, para encontrar w = a(1,1,1) + b(0,1,1) + c(0,0,1) , queremos encontrar escalares (1,1,0) = (a, a, a) + (0, b, b) + (0, 0, c) = (a, a + b, a + b + c) , a = 1 a + b = 1 a + b + c = 0 e tais que:
Expandindo:
Isso nos dá o sistema:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Sabemos que 1 + b = 1 implies b = 0 . Substituindo na segunda equação: