Calcule os autovalores e os autovetores da matriz A=(ll2 & 2 2 & 5).

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar os autovalores e os autovetores da matriz 2 & 2 2 & 5 . Para isso, vamos usar conceitos básicos de matrizes e autovalores que ajudam a entender como a matriz age em vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores são números que, quando multiplicados por um vetor, dão o mesmo resultado que aplicar a matriz no vetor. Para achar esses valores, usamos a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, representa o determinante da matriz, é o autovalor que queremos encontrar, e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a equação característica para a nossa matriz A - lambda I = 2 - lambda & 2 2 & 5 - lambda :
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(5 - lambda) - (2)(2)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

Expandindo e simplificando a equação:
(2 - lambda)(5 - lambda) - 4 = 10 - 2lambda - 5lambda + lambda^2 - 4
lambda^2 - 7lambda + 6 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os autovalores.

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática lambda = 7 pm raiz49 - 242 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 7 pm raiz252
lambda = 7 pm 52
lambda1 = 122 = 6
Então, os autovalores são:
lambda2 = 22 = 1

Passo 6

Agora que temos os autovalores (A - lambda I)v = 0 e A - 6I = 2 - 6 & 2 2 & 5 - 6 = -4 & 2 2 & -1 , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor, resolvemos a equação:
-4v1 + 2v2 = 0
Vamos começar com 2v1 - v2 = 0 :
v2 = 2v1
Resolvendo:
1 2
Podemos resolver para :
Então, o autovetor correspondente é (podemos multiplicar por qualquer escalar).

Passo 7

Agora, vamos para A - 1I = 2 - 1 & 2 2 & 5 - 1 = 1 & 2 2 & 4 :
v1 + 2v2 = 0
Resolvendo:
2v1 + 4v2 = 0
v1 = -2v2
Podemos resolver para -2 1 :
Então, o autovetor correspondente é (novamente, multiplicável por qualquer escalar).

Resposta

Os autovalores da matriz 1 2 são -2 1 e . Os autovetores correspondentes são e .

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