Calcule os autovalores e os autovetores da matriz
.
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar os autovalores e os autovetores da matriz
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de matrizes e autovalores que ajudam a entender como a matriz age em vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores são números que, quando multiplicados por um vetor, dão o mesmo resultado que aplicar a matriz no vetor. Para achar esses valores, usamos a equação característica, que é dada por:
Aqui,
representa o determinante da matriz,
é o autovalor que queremos encontrar, e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a equação característica para a nossa matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Expandindo e simplificando a equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os autovalores.
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 6
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor, resolvemos a equação:
Vamos começar com
:
Resolvendo:
Podemos resolver para
:
Então, o autovetor correspondente é
(podemos multiplicar por qualquer escalar).
Passo 7
Agora, vamos para
:
Resolvendo:
Podemos resolver para
:
Então, o autovetor correspondente é
(novamente, multiplicável por qualquer escalar).
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
. Os autovetores correspondentes são
e
.
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.
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e