a) Determine uma base e a dimensão do subespaço W=[(1,-2,5),(-2,3,-9),(2,-5,11)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma base e a dimensão do subespaço , que é gerado pelos vetores , e . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente envolvendo conceitos de subespaços vetoriais, bases e dimensões. Para resolver, vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes e, caso não sejam, identificar quais formam uma base para .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores dados como linhas de uma matriz. Isso vai facilitar a verificação da independência linear. Nossa matriz fica assim:
1 & -2 & 5 -2 & 3 & -9 2 & -5 & 11

Passo 3

Agora, vamos realizar operações elementares nas linhas da matriz para simplificá-la e verificar se há dependência linear entre os vetores. O objetivo é transformar a matriz em uma forma escalonada, onde conseguimos identificar se alguma linha é combinação das outras.
Primeiro, vamos usar a primeira linha como pivô para eliminar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
Adicionamos 2 vezes a primeira linha à segunda linha:
1 & -2 & 5 0 & -1 & 1 2 & -5 & 11
Em seguida, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
1 & -2 & 5 0 & -1 & 1 0 & -1 & 1

Passo 4

Observamos que a segunda e a terceira linhas são iguais. Isso indica que a terceira linha pode ser obtida a partir da segunda, ou seja, os vetores correspondentes são linearmente dependentes. Portanto, não precisamos dessa terceira linha para definir a base.
A matriz reduzida fica assim:
1 & -2 & 5 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0

Passo 5

Agora, contamos o número de linhas não nulas na matriz escalonada. Temos 2 linhas não nulas, o que significa que a dimensão do subespaço é 2.
As linhas não nulas correspondem aos vetores e . Como elas são linearmente independentes, esses vetores formam uma base para .

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é .

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