Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD: (1,1,-2),(2,4,-3),(4,10,-5) subset R^3

Passo 1

Vamos analisar o conjunto de vetores (1,1,-2),(2,4,-3),(4,10,-5) no espaço R^3. Nosso objetivo é determinar se esses vetores são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente a verificação da independência linear através do cálculo do determinante de uma matriz formada pelos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz cujas colunas são os vetores do conjunto:
A = 1 & 2 & 4 1 & 4 & 10 -2 & -3 & -5

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são Linearmente Independentes. Caso contrário, são Linearmente Dependentes.

Passo 4

Calculando o determinante de A:
det(A) = 1 cdot (4 cdot (-5) - (-3) cdot 10) - 2 cdot (1 cdot (-5) - (-2) cdot 10) + 4 cdot (1 cdot (-3) - (-2) cdot 4)
det(A) = 1 cdot (-20 + 30) - 2 cdot (-5 + 20) + 4 cdot (-3 + 8)
det(A) = 1 cdot 10 - 2 cdot 15 + 4 cdot 5
det(A) = 10 - 30 + 20 = 0

Resposta

Como o determinante é zero, os vetores (1,1,-2),(2,4,-3),(4,10,-5) são Linearmente Dependentes (LD).

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