(Página 267) Em cada um dos problemas 4 e 5 , determinar os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
4 x^wed>= z-5 y^wed>= z+20=0

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado pede para determinar os vértices, os focos e a excentricidade de uma hipérbole dada pela equação . Vamos precisar saber sobre a forma padrão da equação da hipérbole e entender alguns conceitos básicos como vértices, focos e excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é:
4x^2 - 5y^2 + 20 = 0
Vamos isolar os termos com 4x^2 - 5y^2 = -20 e 4x^2-20 - 5y^2-20 = 1 no lado esquerdo:
-x^25 + y^24 = 1
Agora, vamos dividir todos os termos por y^24 - x^25 = 1 para facilitar:
Simplificando:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a forma padrão da hipérbole que abre para cima e para baixo.

Passo 3

Na forma padrão , identificamos e . Então, e .

Passo 4

Os vértices da hipérbole são pontos situados a uma distância (0, pm a) = (0, pm 2) do centro ao longo do eixo que a hipérbole abre. Como nossa equação está centrada na origem (0,0) e abre para cima e para baixo, os vértices são:

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a relação c^2 = 4 + 5 = 9 Rightarrow c = raiz9 = 3. Calculando:
(0, pm c) = (0, pm 3)
Então, os focos estão a uma distância do centro, na direção do eixo. Assim, os focos são:

Passo 6

A excentricidade e = ca = 32 da hipérbole é dada por:

Passo 7

Agora, vamos resumir as informações:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:

Resposta

Os vértices da hipérbole são e , os focos estão em e , e a excentricidade é .

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Encontre os determinantes indicados, sabendo que
|lll a & b & c d & e & f g & h & i |=4
(e) |lll2 c & b & a 2 f & e & d 2 i & h & g|