(Página 267) Em cada um dos problemas 4 e 5 , determinar os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado pede para determinar os vértices, os focos e a excentricidade de uma hipérbole dada pela equação . Vamos precisar saber sobre a forma padrão da equação da hipérbole e entender alguns conceitos básicos como vértices, focos e excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é:
Vamos isolar os termos com e no lado esquerdo:
Agora, vamos dividir todos os termos por para facilitar:
Simplificando:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a forma padrão da hipérbole que abre para cima e para baixo.
Passo 3
Na forma padrão , identificamos e . Então, e .
Passo 4
Os vértices da hipérbole são pontos situados a uma distância do centro ao longo do eixo que a hipérbole abre. Como nossa equação está centrada na origem (0,0) e abre para cima e para baixo, os vértices são:
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a relação . Calculando:
Então, os focos estão a uma distância do centro, na direção do eixo. Assim, os focos são:
Passo 6
A excentricidade da hipérbole é dada por:
Passo 7
Agora, vamos resumir as informações:
Vértices: e
Focos: e
Excentricidade:
Resposta
Os vértices da hipérbole são e , os focos estão em e , e a excentricidade é .