Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços. Em caso afirmativo, determine a base e a dimensão de W. e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto é um subespaço de . Se for, também precisamos achar uma base para e descobrir qual a sua dimensão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, como subespaços, bases e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é realmente um subespaço de . Para que um conjunto seja subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
Contém o vetor zero: O vetor zero deve pertencer ao conjunto.
Fechado por adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar.
Fechado por multiplicação escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo dele também deve estar.
Vamos checar cada uma dessas condições para .
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos verificar se ele está em :
Para , temos . Então, o vetor zero pertence a .
2. Fechado por adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em , digamos e . Sabemos que e .
A soma desses vetores é . Vamos verificar se essa soma também está em :
.
Portanto, na soma, a segunda componente é igual à primeira. Então, a soma está em .
3. Fechado por multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em , , com , e multiplicá-lo por um escalar .
O resultado é . Como , temos . Logo, a segunda componente é igual à primeira, e o vetor resultante também está em .
Como satisfaz todas as três condições, podemos concluir que ela é um subespaço de .
Passo 4
Agora que sabemos que é um subespaço, vamos encontrar uma base para ele e determinar sua dimensão.
Primeiro, observamos que em , , então cada vetor pode ser escrito como , onde e são números reais. Podemos parametrizar esses vetores usando dois parâmetros, e .
Podemos expressar qualquer vetor em como uma combinação linear de dois vetores:
.
Os vetores e são lineares e geram todo o espaço . Portanto, eles formam uma base para .
Dimensão: Como há dois vetores na base de , a dimensão de é 2.
Resposta
O conjunto é um subespaço de . Uma base para é e sua dimensão é 2.