Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços. Em caso afirmativo, determine a base e a dimensão de W. W=(x, y, z) in I R^3: y=x e V=I R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto W=(x, y, z) in R^3 : y = x é um subespaço de V = R^3. Se for, também precisamos achar uma base para W e descobrir qual a sua dimensão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, como subespaços, bases e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se W é realmente um subespaço de R^3. Para que um conjunto seja subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero deve pertencer ao conjunto.
  2. Fechado por adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar.
  3. Fechado por multiplicação escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo dele também deve estar.
Vamos checar cada uma dessas condições para W.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos verificar se ele está em W:
Para (x, y, z) = (0, 0, 0), temos y = 0 = x. Então, o vetor zero pertence a W.
2. Fechado por adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em W, digamos (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2). Sabemos que y1 = x1 e y2 = x2.
A soma desses vetores é (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Vamos verificar se essa soma também está em W:
y1 + y2 = x1 + x2.
Portanto, na soma, a segunda componente é igual à primeira. Então, a soma está em W.
3. Fechado por multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em W, (x, y, z), com y = x, e multiplicá-lo por um escalar k.
O resultado é (k x, k y, k z). Como y = x, temos k y = k x. Logo, a segunda componente é igual à primeira, e o vetor resultante também está em W.
Como W satisfaz todas as três condições, podemos concluir que ela é um subespaço de R^3.

Passo 4

Agora que sabemos que W é um subespaço, vamos encontrar uma base para ele e determinar sua dimensão.
Primeiro, observamos que em W, y = x, então cada vetor pode ser escrito como (x, x, z), onde x e z são números reais. Podemos parametrizar esses vetores usando dois parâmetros, x e z.
Podemos expressar qualquer vetor em W como uma combinação linear de dois vetores:
(x, x, z) = x cdot (1, 1, 0) + z cdot (0, 0, 1).
Os vetores (1, 1, 0) e (0, 0, 1) são lineares e geram todo o espaço W. Portanto, eles formam uma base para W.
Dimensão: Como há dois vetores na base de W, a dimensão de W é 2.

Resposta

O conjunto W é um subespaço de R^3. Uma base para W é , (1, 1, 0),; (0, 0, 1) , e sua dimensão é 2.

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