Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços. Em caso afirmativo, determine a base e a dimensão de W.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Se for, também precisamos achar uma base para
e descobrir qual a sua dimensão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, como subespaços, bases e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é realmente um subespaço de
. Para que um conjunto seja subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor zero deve pertencer ao conjunto.
- Fechado por adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar.
- Fechado por multiplicação escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo dele também deve estar.
Vamos checar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos verificar se ele está em
:
Para
, temos
. Então, o vetor zero pertence a
.
2. Fechado por adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
. Sabemos que
e
.
A soma desses vetores é
. Vamos verificar se essa soma também está em
:
Portanto, na soma, a segunda componente é igual à primeira. Então, a soma está em
.
3. Fechado por multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
,
, com
, e multiplicá-lo por um escalar
.
O resultado é
. Como
, temos
. Logo, a segunda componente é igual à primeira, e o vetor resultante também está em
.
Como
satisfaz todas as três condições, podemos concluir que ela é um subespaço de
.
Passo 4
Agora que sabemos que
é um subespaço, vamos encontrar uma base para ele e determinar sua dimensão.
Primeiro, observamos que em
,
, então cada vetor pode ser escrito como
, onde
e
são números reais. Podemos parametrizar esses vetores usando dois parâmetros,
e
.
Podemos expressar qualquer vetor em
como uma combinação linear de dois vetores:
Os vetores
e
são lineares e geram todo o espaço
. Portanto, eles formam uma base para
.
Dimensão: Como há dois vetores na base de
, a dimensão de
é 2.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
. Uma base para
é
e sua dimensão é 2.