Beleza, vamos calcular os autovalores e autovetores da matriz :
Aqui, e são números reais, e pelo menos um deles é diferente de zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o cálculo de autovalores e autovetores de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde representa os autovalores e é a matriz identidade de mesma dimensão que .
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
A equação característica fica então:
Vamos resolver essa equação para encontrar :
Então, os autovalores são e .
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com .
Substituímos na equação :
[
]
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver a primeira equação para expressar em termos de :
Podemos escolher para simplificar, então:
Portanto, um autovetor associado a é:
Passo 7
De maneira similar, vamos encontrar o autovetor para .
Substituindo na equação :
[
]
O sistema de equações é:
Passo 8
Resolvendo a primeira equação:
Escolhendo , temos:
Então, um autovetor associado a é:
Resposta
Os autovalores da matriz são e , e os respectivos autovetores são e .