Calcule os autovalores e autovetores da matriz
onde com ou .

Passo 1

Beleza, vamos calcular os autovalores e autovetores da matriz :
Aqui, e são números reais, e pelo menos um deles é diferente de zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o cálculo de autovalores e autovetores de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde representa os autovalores e é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 3

Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

A equação característica fica então:
Vamos resolver essa equação para encontrar :
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com .
Substituímos na equação :

[



]
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver a primeira equação para expressar em termos de :
Podemos escolher para simplificar, então:
Portanto, um autovetor associado a é:

Passo 7

De maneira similar, vamos encontrar o autovetor para .
Substituindo na equação :

[



]
O sistema de equações é:

Passo 8

Resolvendo a primeira equação:
Escolhendo , temos:
Então, um autovetor associado a é:

Resposta

Os autovalores da matriz são e , e os respectivos autovetores são e .

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а)
b)
Sabe-se que a reta s é perpendicular à reta bissetriz dos quadrantes ímpares e passa pelo ponto (2,3). Determine o ponto de que forma um triângulo de área 5 com os pontos e . Resp.: .
Sejam e bases tais que ,
(a) Escreva a matriz de mudança de base de para .
Determine a equação da mediatriz do segmento sendo e . Resp.: .