Calcule os autovalores e autovetores da matriz
A=(rr a & -b b & a )
onde a, b in R com a neq 0 ou b neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos calcular os autovalores e autovetores da matriz A = a & -b b & a :
Aqui, e são números reais, e pelo menos um deles é diferente de zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o cálculo de autovalores e autovetores de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde representa os autovalores e é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = a - lambda & -b b & a - lambda :
det(A - lambda I) = (a - lambda)(a - lambda) - (-b)(b) = (a - lambda)^2 + b^2
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

A equação característica fica então:
(a - lambda)^2 + b^2 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar (a - lambda)^2 = -b^2 a - lambda = pm ib lambda = a pm ib :
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com a - (a + ib) & -b b & a - (a + ib) v1 v2 = -ib & -b b & -ib v1 v2 = 0 0 .
Substituímos -ib v1 - b v2 = 0 b v1 - ib v2 = 0 na equação :

[



]
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver a primeira equação para expressar -ib v1 = b v2 v1 = -b-ib v2 = bib v2 = 1i v2 = -i v2 em termos de v1 = -i :
v1 = -i 1
Podemos escolher para simplificar, então:
Portanto, um autovetor associado a é:

Passo 7

De maneira similar, vamos encontrar o autovetor para a - (a - ib) & -b b & a - (a - ib) v1 v2 = ib & -b b & ib v1 v2 = 0 0 .
Substituindo ib v1 - b v2 = 0 b v1 + ib v2 = 0 na equação :

[



]
O sistema de equações é:

Passo 8

Resolvendo a primeira equação:
ib v1 = b v2 v1 = bib v2 = 1i v2 = -i v2
Escolhendo v1 = -i , temos:
v2 = -i 1
Então, um autovetor associado a é:

Resposta

Os autovalores da matriz -i 1 são -i 1 e , e os respectivos autovetores são e .

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