Calcule os autovalores e autovetores da matriz
onde
com
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular os autovalores e autovetores da matriz
:
Aqui,
e
são números reais, e pelo menos um deles é diferente de zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o cálculo de autovalores e autovetores de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde
representa os autovalores e
é a matriz identidade de mesma dimensão que
.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
A equação característica fica então:
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com
.
Substituímos
na equação
:
[
]
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver a primeira equação para expressar
em termos de
:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Portanto, um autovetor associado a
é:
Passo 7
De maneira similar, vamos encontrar o autovetor para
.
Substituindo
na equação
:
[
]
O sistema de equações é:
Passo 8
Resolvendo a primeira equação:
Escolhendo
, temos:
Então, um autovetor associado a
é:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
, e os respectivos autovetores são
e
.