Calcule os autovalores e os autovetores das matrizes:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos calcular os autovalores e os autovetores da matriz
. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, onde aprendemos como essas propriedades ajudam a entender melhor o comportamento de transformações lineares representadas por matrizes. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz para achar os autovalores e depois encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Aqui,
representa os autovalores e
é a matriz identidade
. Então, calculamos
:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Expandindo:
Então:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para cada
, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Para
:
Vamos resolver o sistema:
Essas duas equações são equivalentes. Podemos simplificar a primeira:
Então, um autovetor correspondente a
é:
Para
:
Vamos resolver o sistema:
Novamente, as duas equações são equivalentes. Simplificando a primeira:
Então, um autovetor correspondente a
é:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
.
Os autovetores correspondentes são: