Calcule os autovalores e os autovetores das matrizes:
b) B=(cc3 & -1 -2 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos calcular os autovalores e os autovetores da matriz 3 & -1 -2 & 2 . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, onde aprendemos como essas propriedades ajudam a entender melhor o comportamento de transformações lineares representadas por matrizes. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz para achar os autovalores e depois encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(B - lambda I) = 0
Aqui, B - lambda I = 3 - lambda & -1 -2 & 2 - lambda representa os autovalores e det(B - lambda I) = (3 - lambda)(2 - lambda) - (-1)(-2) = (3 - lambda)(2 - lambda) - 2 é a matriz identidade (3 - lambda)(2 - lambda) = 6 - 3lambda - 2lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 6 . Então, calculamos lambda^2 - 5lambda + 6 - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4 = 0 :
lambda^2 - 5lambda + 4 = 0
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
lambda = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm raiz92 = 5 pm 32
Expandindo:
lambda1 = 5 + 32 = 4 e lambda2 = 5 - 32 = 1
Então:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores B - 4I = 3 - 4 & -1 -2 & 2 - 4 = -1 & -1 -2 & -2 e -1x - 1y = 0 -2x - 2y = 0 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para cada x + y = 0 Rightarrow y = -x , resolvemos v1 = 1 -1 , onde B - I = 3 - 1 & -1 -2 & 2 - 1 = 2 & -1 -2 & 1 é o autovetor.
Para 2x - y = 0 -2x + y = 0 :
2x = y
Vamos resolver o sistema:
v2 = 1 2
Essas duas equações são equivalentes. Podemos simplificar a primeira:
Então, um autovetor correspondente a é:
Para :
Vamos resolver o sistema:
Novamente, as duas equações são equivalentes. Simplificando a primeira:
Então, um autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores da matriz v1 = 1 -1 para lambda1 = 4 são v2 = 1 2 para lambda2 = 1 e .
Os autovetores correspondentes são:

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