Calcule os autovalores e os autovetores das matrizes:
b)
Passo 1
Beleza, vamos calcular os autovalores e os autovetores da matriz . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, onde aprendemos como essas propriedades ajudam a entender melhor o comportamento de transformações lineares representadas por matrizes. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz para achar os autovalores e depois encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade . Então, calculamos :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Expandindo:
Então:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Vamos resolver o sistema:
Essas duas equações são equivalentes. Podemos simplificar a primeira:
Então, um autovetor correspondente a é:
Para :
Vamos resolver o sistema:
Novamente, as duas equações são equivalentes. Simplificando a primeira: