Escalone as matrizes abaixo e determine seus respectivos postos.
a) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz de ordem e precisamos escaloná-la para descobrir seu posto. O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas na sua forma escalonada. Para isso, vamos usar operações elementares de linha, que são ferramentas da álgebra linear para simplificar a matriz.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz original:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma onde possamos facilmente identificar o posto, ou seja, a quantidade de linhas que não são todas zeros.

Passo 3

Primeiro, usamos o elemento da primeira linha e primeira coluna como nosso pivô, que é o número 1. Queremos zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
  • Subtraímos 4 vezes a primeira linha da terceira linha:
Aplicando essas operações, temos:

Passo 4

Agora, vamos usar o segundo elemento da segunda linha como pivô, que é o 7. Queremos zerar o elemento abaixo dele na segunda coluna. Para isso, subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha:
Calculando isso, a matriz fica:

Passo 5

Agora, a matriz está em forma escalonada. Observamos que há duas linhas não nulas. Isso significa que o posto da matriz é 2.

Resposta

O posto da matriz é .

Exercícios relacionados

Considere, em os seguintes subespaços vetoriais:
Encontre uma base e a dimensão para e . Faça um esboço, incluindo e .
Dadas e , determine e e depois compare os resultados.
Calcule os autovalores e os autovetores das matrizes:
b)
Transforme a base em uma base ortonormal.
Processo de ortonormalização de Gram-Schmidt: considere .
Base ortonormal: .