Transforme a base beta=(0,1,-1),(0,0,3),(2,1,0) em uma base ortonormal.
Processo de ortonormalização de Gram-Schmidt: considere beta=u1, u2, u3.
& g1=u1|u1| & g2=v2|v2| onde v2=u2-(u2 cdot g1) g1 & g3=v3|v3| onde v3=u3-(u3 cdot g2) g2-(u3 cdot g1) g1
Base ortonormal: beta^prime=g1, g2, g3.

Passo 1

Beleza, vamos transformar a base em uma base ortonormal usando o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. Isso significa que vamos encontrar três vetores que são todos perpendiculares entre si (ortogonais) e que cada um tem comprimento 1 (normalizados). Para isso, vamos precisar calcular normas (comprimentos) e produtos escalares (para verificar a ortogonalidade).

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os vetores da base original de |u1| = raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2 , g1 = u1|u1| = (0, 1raiz2, -1raiz2) e .
Começamos calculando o primeiro vetor ortonormal . Para isso, normalizamos :
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar o segundo vetor ortonormal v2 = u2 - (u2 cdot g1)g1 . Primeiro, calculamos u2 cdot g1 = 0 cdot 0 + 0 cdot 1raiz2 + 3 cdot -1raiz2 = -3raiz2 que é v2 = (0,0,3) - -3raiz2 (0, 1raiz2, -1raiz2) = (0,0,3) + (0, 32, -32) = (0, 32, 32) ajustado para ser ortogonal a |v2| = raiz0^2 + (32)^2 + (32)^2 = raiz0 + 94 + 94 = raiz184 = 3raiz22 :
g2 = v2|v2| = (0, 323raiz22, 323raiz22) = (0, 1raiz2, 1raiz2)
Calculando o produto escalar :
Ent��o,
Agora, normalizamos para obter :
Então,

Passo 4

Finalmente, vamos encontrar o terceiro vetor ortonormal v3 = u3 - (u3 cdot g1)g1 - (u3 cdot g2)g2 . Primeiro, calculamos u3 cdot g1 = 2 cdot 0 + 1 cdot 1raiz2 + 0 cdot -1raiz2 = 1raiz2 que é u3 cdot g2 = 2 cdot 0 + 1 cdot 1raiz2 + 0 cdot 1raiz2 = 1raiz2 ajustado para ser ortogonal a v3 = (2,1,0) - 1raiz2 (0, 1raiz2, -1raiz2) - 1raiz2 (0, 1raiz2, 1raiz2) e v3 = (2,1,0) - (0, 12, -12) - (0, 12, 12) = (2,1,0) - (0,1,0) = (2,0,0) :
|v3| = raiz2^2 + 0^2 + 0^2 = raiz4 = 2
Calculando os produtos escalares:
g3 = v3|v3| = (22, 02, 02) = (1,0,0)
Então,
Simplificando:
Agora, normalizamos para obter :
Então,

Resposta

A base ortonormal beta' = (0, 1raiz2, -1raiz2), (0, 1raiz2, 1raiz2), (1,0,0) resultante é:

Exercícios relacionados