Transforme a base em uma base ortonormal.
Processo de ortonormalização de Gram-Schmidt: considere .
Base ortonormal: .

Passo 1

Beleza, vamos transformar a base em uma base ortonormal usando o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. Isso significa que vamos encontrar três vetores que são todos perpendiculares entre si (ortogonais) e que cada um tem comprimento 1 (normalizados). Para isso, vamos precisar calcular normas (comprimentos) e produtos escalares (para verificar a ortogonalidade).

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os vetores da base original de , e .
Começamos calculando o primeiro vetor ortonormal . Para isso, normalizamos :
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar o segundo vetor ortonormal . Primeiro, calculamos que é ajustado para ser ortogonal a :
Calculando o produto escalar :
Ent��o,
Agora, normalizamos para obter :
Então,

Passo 4

Finalmente, vamos encontrar o terceiro vetor ortonormal . Primeiro, calculamos que é ajustado para ser ortogonal a e :
Calculando os produtos escalares:
Então,
Simplificando:
Agora, normalizamos para obter :
Então,

Resposta

A base ortonormal resultante é:

Exercícios relacionados

Calcule os autovalores e os autovetores das matrizes:
b)
Escalone as matrizes abaixo e determine seus respectivos postos.
a) .
Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
a) .
Seja a transformação Linear tal que e
a) Determine a transformação