Considere, em os seguintes subespaços vetoriais:
Encontre uma base e a dimensão para e . Faça um esboço, incluindo e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos dois subespaços vetoriais em , chamados e . A gente precisa encontrar uma base para cada um deles, descobrir a dimensão de cada subespaço e também encontrar a interseção entre eles, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos como base, dimensão e interseção de subespaços vetoriais.

Passo 2

Vamos começar com . Esse subespaço é definido por todos os vetores em onde . Então, qualquer vetor em tem a forma . Para formar uma base, precisamos de vetores que sejam independentes e que consigam gerar todo o subespaço. Podemos pegar, por exemplo, e . Esses dois vetores são independentes e qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação deles. Portanto, uma base para é e a dimensão de é 2.

Passo 3

Agora vamos para . Esse subespaço é gerado pelos vetores e . Primeiro, vamos ver se esses vetores são independentes. Como nenhum deles é múltiplo do outro, eles são independentes linearmente. Assim, esses dois vetores formam uma base para . Ou seja, uma base para é e a dimensão de também é 2.

Passo 4

Vamos agora encontrar a interseção . Isso significa encontrar todos os vetores que estão simultaneamente em e em . Um vetor em pode ser escrito como , ou seja, . Mas para esse vetor também estar em , precisa ter . Isso implica que . Então, os vetores na interseção são da forma , onde é um número real. Portanto, uma base para é e a dimensão é 1.

Passo 5

Por fim, vamos fazer um esboço para visualizar , e . é o plano onde , ou seja, o plano . é um plano que passa pela origem e é gerado pelos vetores e , então ele está inclinado em relação aos eixos. A interseção é a linha formada pelo eixo , já que todos os vetores dessa linha estão em ambos os subespaços.

Resposta

    • Base:
    • Dimensão: 2
    • Base:
    • Dimensão: 2
    • Base:
    • Dimensão: 1
Além disso, no esboço, aparece como o plano , como um plano inclinado que cruza o eixo e a direção , e a interseção é representada pela linha do eixo .

Exercícios relacionados

Dadas e , determine e e depois compare os resultados.
Sejam e . Determine:
e) .
Escalone as matrizes abaixo e determine seus respectivos postos.
a) .
Calcule os autovalores e os autovetores das matrizes:
b)