Considere, em
os seguintes subespaços vetoriais:
Encontre uma base e a dimensão para
e
. Faça um esboço, incluindo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos dois subespaços vetoriais em
, chamados
e
. A gente precisa encontrar uma base para cada um deles, descobrir a dimensão de cada subespaço e também encontrar a interseção entre eles, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos como base, dimensão e interseção de subespaços vetoriais.
Passo 2
Vamos começar com
. Esse subespaço é definido por todos os vetores
em
onde
. Então, qualquer vetor em
tem a forma
. Para formar uma base, precisamos de vetores que sejam independentes e que consigam gerar todo o subespaço. Podemos pegar, por exemplo,
e
. Esses dois vetores são independentes e qualquer vetor
pode ser escrito como uma combinação deles. Portanto, uma base para
é
e a dimensão de
é 2.
Passo 3
Agora vamos para
. Esse subespaço é gerado pelos vetores
e
. Primeiro, vamos ver se esses vetores são independentes. Como nenhum deles é múltiplo do outro, eles são independentes linearmente. Assim, esses dois vetores formam uma base para
. Ou seja, uma base para
é
e a dimensão de
também é 2.
Passo 4
Vamos agora encontrar a interseção
. Isso significa encontrar todos os vetores que estão simultaneamente em
e em
. Um vetor em
pode ser escrito como
, ou seja,
. Mas para esse vetor também estar em
, precisa ter
. Isso implica que
. Então, os vetores na interseção são da forma
, onde
é um número real. Portanto, uma base para
é
e a dimensão é 1.
Passo 5
Por fim, vamos fazer um esboço para visualizar
,
e
.
é o plano onde
, ou seja, o plano
.
é um plano que passa pela origem e é gerado pelos vetores
e
, então ele está inclinado em relação aos eixos. A interseção
é a linha formada pelo eixo
, já que todos os vetores dessa linha estão em ambos os subespaços.
Resposta
-
- Base:
- Dimensão: 2
- Base:
-
- Base:
- Dimensão: 2
- Base:
-
- Base:
- Dimensão: 1
- Base:
Além disso, no esboço,
aparece como o plano
,
como um plano inclinado que cruza o eixo
e a direção
, e a interseção
é representada pela linha do eixo
.