Calcule os autovalores e os autovetores das matrizes:
c) C=(ccc2 & 1 & 0 0 & 2 & -7 0 & 0 & -3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os autovalores e autovetores da matriz 2 & 1 & 0 0 & 2 & -7 0 & 0 & -3 .
Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com autovalores e autovetores de matrizes. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz para encontrar os autovalores , e depois usar esses valores para encontrar os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores são os valores de det(C - lambda I) = 0 que satisfazem a equação:
onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos construir a matriz C - lambda I = 2 - lambda & 1 & 0 0 & 2 - lambda & -7 0 & 0 & -3 - lambda :

Passo 4

Como det(C - lambda I) = (2 - lambda) times (2 - lambda) times (-3 - lambda) é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 5

Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
(2 - lambda)^2 times (-3 - lambda) = 0
Isso nos dá as soluções:
2 - lambda = 0 (com mu

Passo 6

Resolvendo as equações acima, encontramos os autovalores:
lambda1 = 2 (com mu

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Começamos com (C - 2I)v = 0 .
Resolvemos:
0 & 1 & 0 0 & 0 & -7 0 & 0 & -5 v1 v2 v3 = 0 0 0
Ou seja:

Passo 8

Isso nos dá o sistema de equações:
0 cdot v1 + 1 cdot v2 + 0 cdot v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 -7 cdot v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 -5 cdot v3 = 0
Da segunda e terceira equações, temos:
-7v3 = 0 implies v3 = 0 -5v3 = 0 implies v3 = 0
E da primeira equação:
v2 = 0

Passo 9

Portanto, para v = v1 0 0 , o autovetor tem a forma:
v1 = 1 0 0
Onde pode ser qualquer número real diferente de zero. Geralmente, escolhemos para simplificar.
Então, um autovetor para é:

Passo 10

Agora, vamos encontrar o autovetor para (C + 3I)v = 0 .
Resolvemos:
5 & 1 & 0 0 & 5 & -7 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
Ou seja:

Passo 11

Isso nos dá o sistema de equações:
5v1 + v2 = 0 5v2 -7v3 = 0 0 = 0
Da primeira equação:
v2 = -5v1
Da segunda equação:
5(-5v1) -7v3 = 0 implies -25v1 -7v3 = 0 implies v3 = -257v1

Passo 12

Portanto, para v = v1 -5v1 -257v1 = v1 1 -5 -257 , o autovetor tem a forma:
v2 = 7 -35 -25
Escolhendo para eliminar o denominador, temos:

Resposta

Os autovalores da matriz v1 = 1 0 0 para lambda = 2 são v2 = 7 -35 -25 para lambda = -3 (com multiplicidade 2) e .
Os autovetores correspondentes são:

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