Calcule os autovalores e os autovetores das matrizes:
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os autovalores e autovetores da matriz .
Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com autovalores e autovetores de matrizes. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz para encontrar os autovalores , e depois usar esses valores para encontrar os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação:
onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos construir a matriz :

Passo 4

Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 5

Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
Isso nos dá as soluções:

Passo 6

Resolvendo as equações acima, encontramos os autovalores:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Começamos com .
Resolvemos:
Ou seja:

Passo 8

Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda e terceira equações, temos:
E da primeira equação:

Passo 9

Portanto, para , o autovetor tem a forma:
Onde pode ser qualquer número real diferente de zero. Geralmente, escolhemos para simplificar.
Então, um autovetor para é:

Passo 10

Agora, vamos encontrar o autovetor para .
Resolvemos:
Ou seja:

Passo 11

Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:

Passo 12

Portanto, para , o autovetor tem a forma:
Escolhendo para eliminar o denominador, temos:

Resposta

Os autovalores da matriz são (com multiplicidade 2) e .
Os autovetores correspondentes são:

Exercícios relacionados

Reveja o conceito de Espaço Vetorial - EV e faça o que se pede a seguir:
Seja tal que e , ou seja, o conjunto das matrizes com entradas não nulas.
A soma de duas matrizes de e o produto de um número real por uma matriz de são definidos da seguinte maneira:


Verifique se U com as duas operações definidas acima é um Espaço Vetorial e, caso não seja, mostre quais condições não são satisfeitas (não se verificam).
Observação: Note que as operações definidas acima não são as operações convencionais, ou seja, são formas diferentes de somar matrizes e multiplicar uma matriz por um escalar.
Considere o subespaço de gerado pelos vetores e .
O vetor ? Justifique.
Seja o conjunto de todos os inteiros com a adição definida na forma usual. Defina a multiplicação por escalar o, por para todo em que \lceil\rceil denota o maior inteiro menor que ou igual a . Por exemplo, 2, . Mostre que , com estas operações, não é um espaço vetorial. Que axiomas não são validos?
Sejam e . Determine:
c) .