Calcule os autovalores e os autovetores das matrizes:
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os autovalores e autovetores da matriz .
Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com autovalores e autovetores de matrizes. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz para encontrar os autovalores , e depois usar esses valores para encontrar os autovetores correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação:
onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Passo 3
Vamos construir a matriz :
Passo 4
Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Passo 5
Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
Isso nos dá as soluções:
Passo 6
Resolvendo as equações acima, encontramos os autovalores:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Começamos com .
Resolvemos:
Ou seja:
Passo 8
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda e terceira equações, temos:
E da primeira equação:
Passo 9
Portanto, para , o autovetor tem a forma:
Onde pode ser qualquer número real diferente de zero. Geralmente, escolhemos para simplificar.
Então, um autovetor para é:
Passo 10
Agora, vamos encontrar o autovetor para .
Resolvemos:
Ou seja:
Passo 11
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 12
Portanto, para , o autovetor tem a forma:
Escolhendo para eliminar o denominador, temos:
Resposta
Os autovalores da matriz são (com multiplicidade 2) e .