Considere o subespaço de R^4 gerado pelos vetores u1=(1,-1,0,0), u2=(0,0,1,1), u3=(-2,2,1,1) e u4=(1,0,0,0).
O vetor (2,-3,2,2) in[u1, u2, u3, u4] ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o vetor (2, -3, 2, 2) está dentro do subespaço de R^4 gerado pelos vetores u1 = (1, -1, 0, 0), u2 = (0, 0, 1, 1), u3 = (-2, 2, 1, 1) e u4 = (1, 0, 0, 0). Basicamente, queremos saber se conseguimos combinar esses vetores de alguma forma para chegar no vetor desejado. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Um vetor está no subespaço gerado por outros vetores se ele pode ser escrito como uma soma desses vetores multiplicados por coeficientes escalares. Ou seja, queremos encontrar números c1, c2, c3, c4 tais que:
c1u1 + c2u2 + c3u3 + c4u4 = (2, -3, 2, 2)
Isso nos leva a um sistema de equações que precisamos resolver para encontrar esses coeficientes.

Passo 3

Vamos escrever a equação componente por componente. Substituindo os vetores, temos:
c1(1, -1, 0, 0) + c2(0, 0, 1, 1) + c3(-2, 2, 1, 1) + c4(1, 0, 0, 0) = (2, -3, 2, 2)
Isso se traduz nas seguintes equações:
  1. Componente 1: c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot (-2) + c4 cdot 1 = 2
  2. Componente 2: c1 cdot (-1) + c2 cdot 0 + c3 cdot 2 + c4 cdot 0 = -3
  3. Componente 3: c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot 1 + c4 cdot 0 = 2
  4. Componente 4: c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot 1 + c4 cdot 0 = 2

Passo 4

Agora, vamos organizar essas equações de forma mais clara:
  1. c1 - 2c3 + c4 = 2
  2. -c1 + 2c3 = -3
  3. c2 + c3 = 2
  4. c2 + c3 = 2
Observamos que a terceira e a quarta equação são iguais, então vamos trabalhar com as três equações distintas.

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da equação 2:
- c1 + 2c3 = -3 Rightarrow c1 = 2c3 + 3
Substituindo c1 na equação 1:
(2c3 + 3) - 2c3 + c4 = 2 2c3 + 3 - 2c3 + c4 = 2 3 + c4 = 2 c4 = 2 - 3 c4 = -1
Agora, da equação 3:
c2 + c3 = 2 Rightarrow c2 = 2 - c3

Passo 6

Até aqui, temos:
  • c1 = 2c3 + 3
  • c2 = 2 - c3
  • c4 = -1
Mas ainda precisamos determinar o valor de c3. Como não há mais equações, podemos atribuir qualquer valor a c3. No entanto, para simplificar, vamos escolher c3 = 0.
Então:
  • c1 = 2(0) + 3 = 3
  • c2 = 2 - 0 = 2
  • c3 = 0
  • c4 = -1

Resposta

Sim, o vetor (2, -3, 2, 2) pertence ao subespaço gerado por u1, u2, u3, u4, pois existe uma combinação linear desses vetores com c1 = 3, c2 = 2, c3 = 0 e c4 = -1 que resulta no vetor desejado.

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