Considere o subespaço de gerado pelos vetores e .
O vetor ? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o vetor (2, -3, 2, 2) está dentro do subespaço de gerado pelos vetores , , e . Basicamente, queremos saber se conseguimos combinar esses vetores de alguma forma para chegar no vetor desejado. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Um vetor está no subespaço gerado por outros vetores se ele pode ser escrito como uma soma desses vetores multiplicados por coeficientes escalares. Ou seja, queremos encontrar números tais que:
Isso nos leva a um sistema de equações que precisamos resolver para encontrar esses coeficientes.
Passo 3
Vamos escrever a equação componente por componente. Substituindo os vetores, temos:
Isso se traduz nas seguintes equações:
Componente 1:
Componente 2:
Componente 3:
Componente 4:
Passo 4
Agora, vamos organizar essas equações de forma mais clara:
Observamos que a terceira e a quarta equação são iguais, então vamos trabalhar com as três equações distintas.
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da equação 2:
Substituindo na equação 1:
Agora, da equação 3:
Passo 6
Até aqui, temos:
Mas ainda precisamos determinar o valor de . Como não há mais equações, podemos atribuir qualquer valor a . No entanto, para simplificar, vamos escolher .
Então:
Resposta
Sim, o vetor pertence ao subespaço gerado por , pois existe uma combinação linear desses vetores com , , e que resulta no vetor desejado.