Seja
o conjunto de todos os inteiros com a adição definida na forma usual. Defina a multiplicação por escalar o, por
para todo
em que \lceil\rceil denota o maior inteiro menor que ou igual a
. Por exemplo, 2,
. Mostre que
, com estas operações, não é um espaço vetorial. Que axiomas não são validos?
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear. A questão fala sobre o conjunto dos números inteiros,
, com a adição usual e uma multiplicação por escalar definida de um jeito específico: para qualquer número real
e inteiro
, a multiplicação é dada por
. A gente precisa mostrar que, com essas operações,
não forma um espaço vetorial e identificar quais axiomas não são válidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo
(como os números reais) precisa satisfazer certos axiomas relacionados à adição de vetores e à multiplicação por escalares. Se algum desses axiomas não for satisfeito, então não é um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos analisar os axiomas que precisam ser satisfeitos. Um dos principais é o axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares, que diz que para todo
e todo vetor
, temos:
Vamos verificar se esse axioma é válido nesse caso.
Passo 4
Tomemos
e
. Então,
. Vamos calcular cada parte:
Primeiro,
. Segundo,
e
.
Agora, somando
.
Por outro lado,
.
Vemos que
para
.
Passo 5
Como encontramos que
, isso significa que o axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeito.
Passo 6
Além disso, podemos verificar outros axiomas, como o axioma da associação da multiplicação por escalar, que exige que
. Usando números apropriados, podemos ver que esse axioma também não se mantém com a definição dada de
.
Resposta
Portanto,
com as operações definidas não é um espaço vetorial porque o axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é válido, além de outros axiomas como o da associação da multiplicação por escalar também não serem satisfeitos.