Seja o conjunto de todos os inteiros com a adição definida na forma usual. Defina a multiplicação por escalar o, por para todo em que \lceil\rceil denota o maior inteiro menor que ou igual a . Por exemplo, 2, . Mostre que , com estas operações, não é um espaço vetorial. Que axiomas não são validos?
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear. A questão fala sobre o conjunto dos números inteiros, , com a adição usual e uma multiplicação por escalar definida de um jeito específico: para qualquer número real e inteiro , a multiplicação é dada por . A gente precisa mostrar que, com essas operações, não forma um espaço vetorial e identificar quais axiomas não são válidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (como os números reais) precisa satisfazer certos axiomas relacionados à adição de vetores e à multiplicação por escalares. Se algum desses axiomas não for satisfeito, então não é um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos analisar os axiomas que precisam ser satisfeitos. Um dos principais é o axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares, que diz que para todo e todo vetor , temos:
Vamos verificar se esse axioma é válido nesse caso.
Passo 4
Tomemos e . Então, . Vamos calcular cada parte:
Primeiro, . Segundo, e .
Agora, somando .
Por outro lado, .
Vemos que para .
Passo 5
Como encontramos que , isso significa que o axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeito.
Passo 6
Além disso, podemos verificar outros axiomas, como o axioma da associação da multiplicação por escalar, que exige que . Usando números apropriados, podemos ver que esse axioma também não se mantém com a definição dada de .
Resposta
Portanto, com as operações definidas não é um espaço vetorial porque o axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é válido, além de outros axiomas como o da associação da multiplicação por escalar também não serem satisfeitos.