Reveja o conceito de Espaço Vetorial - EV e faça o que se pede a seguir:
Seja tal que e , ou seja, o conjunto das matrizes com entradas não nulas.
A soma de duas matrizes de e o produto de um número real por uma matriz de são definidos da seguinte maneira:
Verifique se U com as duas operações definidas acima é um Espaço Vetorial e, caso não seja, mostre quais condições não são satisfeitas (não se verificam).
Observação: Note que as operações definidas acima não são as operações convencionais, ou seja, são formas diferentes de somar matrizes e multiplicar uma matriz por um escalar.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos que revisar o conceito de Espaço Vetorial (EV) e verificar se um conjunto específico de matrizes, chamado , com operações de soma e multiplicação diferentes das convencionais, forma ou não um Espaço Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que definem um Espaço Vetorial e aplicar cada uma delas ao conjunto com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um Espaço Vetorial. Basicamente, um Espaço Vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, onde podemos fazer operações de adição e multiplicação por escalar que seguem certas regras (axiomas). Essas regras garantem que as operações sejam bem comportadas. Existem 10 axiomas que precisam ser satisfeitos para que um conjunto com essas operações seja considerado um Espaço Vetorial.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o conjunto . Ele é definido como o conjunto de todas as matrizes cujas entradas são diferentes de zero:
As operações de soma e multiplicação por escalar neste conjunto são não convencionais:
Soma:
Multiplicação por escalar:
Passo 4
Agora, vamos verificar cada um dos 10 axiomas de um Espaço Vetorial para ver se os satisfaz com essas operações.
Fechamento sob Adição: Se somarmos duas matrizes de , o resultado deve estar em . Como estamos multiplicando as entradas, desde que todas as entradas originais sejam não zero, o produto também será não zero. Então, esse axioma é satisfeito.
Comutatividade da Adição: A soma convencional é comutativa, mas aqui estamos multiplicando as entradas. Como a multiplicação de números reais é comutativa, esse axioma também é satisfeito.
Associatividade da Adição: Para três matrizes em , . Aqui, isso se traduz em . Como a multiplicação de números reais é associativa, esse axioma é satisfeito.
Existência do Elemento Neutro: Deve existir uma matriz zero tal que para qualquer . No caso da multiplicação, o elemento neutro seria uma matriz onde todas as entradas são 1, porque . Isso está de acordo com , já que todas as entradas são não zero. Portanto, esse axioma é satisfeito.
Existência de Inversos Adicionais: Para cada matriz , deve existir uma matriz tal que . No nosso caso, isso significa encontrar uma matriz com entradas . Como todas as entradas de são não zero, essas inversas existem e também estão em . Então, esse axioma é satisfeito.
Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Se multiplicarmos uma matriz de por um escalar, o resultado deve estar em . Aqui, elevamos cada entrada ao escalar . Desde que sejam não zero e seja real, também serão não zero. Portanto, esse axioma é satisfeito.
Compatibilidade de Multiplicação por Escalar: Para escalares e , . Aqui, e . Isso só será verdade se , o que ocorre apenas se . Como é geral, esse axioma não é satisfeito.
Identidade da Multiplicação por Escalar: . Aqui, , então esse axioma é satisfeito.
Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Vetores: . Vamos verificar: , enquanto . Essas duas expressões só são iguais se , o que novamente só ocorre se . Portanto, esse axioma não é satisfeito.
Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Escalares: . Vamos verificar: , enquanto . Nesse caso, isso é verdade pois . Portanto, esse axioma é satisfeito.
Resposta
Então, não é um Espaço Vetorial com as operações definidas, porque não satisfaz os axiomas de compatibilidade da multiplicação por escalar (Passo 7 e Passo 9). Ou seja, as propriedades e não são atendidas para escalares gerais e .