Calcule os autovalores e os autovetores das matrizes:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os autovalores e os autovetores da matriz
. Isso faz parte da Álgebra Linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar usar o determinante e resolver algumas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores (
). Para isso, a gente monta a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Substituindo, temos:
Agora, calculamos o determinante:
Expandindo:
Resolvendo para
:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada
, resolvemos a equação:
Onde
é o autovetor.
Para
:
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, percebemos que as duas equações são iguais. Podemos escolher
:
Então, um autovetor para
é
.
Para
:
Isso nos dá o sistema:
Novamente, as equações são equivalentes. Podemos escolher
:
Então, um autovetor para
é
.
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
, com os respectivos autovetores
e
.