Calcule os autovalores e os autovetores das matrizes:
a) A=(cc-1 & -3 -1 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os autovalores e os autovetores da matriz -1 & -3 -1 & 1 . Isso faz parte da Álgebra Linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar usar o determinante e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ). Para isso, a gente monta a equação característica:
A - lambda I = -1 - lambda & -3 -1 & 1 - lambda
Onde det(A - lambda I) = (-1 - lambda)(1 - lambda) - (-3)(-1) = 0 é a matriz identidade. Substituindo, temos:
(-1)(1) + (-1)(-lambda) + (-lambda)(1) + (-lambda)(-lambda) - 3 = 0 -1 + lambda - lambda + lambda^2 - 3 = 0 lambda^2 -4 = 0
Agora, calculamos o determinante:
lambda^2 = 4 lambda = pm 2
Expandindo:
Resolvendo para :
Então, os autovalores são e .

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada (A - lambda I)v = 0 , resolvemos a equação:
A - 2I = -3 & -3 -1 & -1
Onde -3v1 -3v2 = 0 -1v1 -1v2 = 0 é o autovetor.
Para -3v1 -3(1) = 0 Rightarrow v1 = -1 :
-1 1
Isso nos dá o sistema:
A + 2I = 1 & -3 -1 & 3
Simplificando, percebemos que as duas equações são iguais. Podemos escolher v1 -3v2 = 0 -1v1 +3v2 = 0 :
v1 -3(1) = 0 Rightarrow v1 = 3
Então, um autovetor para 3 1 é .
Para :
Isso nos dá o sistema:
Novamente, as equações são equivalentes. Podemos escolher :
Então, um autovetor para é .

Resposta

Os autovalores da matriz -1 1 são 3 1 e , com os respectivos autovetores e .

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