Calcule os autovalores e os autovetores das matrizes:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os autovalores e os autovetores da matriz . Isso faz parte da Álgebra Linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar usar o determinante e resolver algumas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores (). Para isso, a gente monta a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Substituindo, temos:
Agora, calculamos o determinante:
Expandindo:
Resolvendo para :
Então, os autovalores são e .
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada , resolvemos a equação:
Onde é o autovetor.
Para :
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, percebemos que as duas equações são iguais. Podemos escolher :
Então, um autovetor para é .
Para :
Isso nos dá o sistema:
Novamente, as equações são equivalentes. Podemos escolher :
Então, um autovetor para é .
Resposta
Os autovalores da matriz são e , com os respectivos autovetores e .