a) Determine uma base de que possua os vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base de que inclua os vetores e . Isso envolve entender o que é uma base, como verificar se os vetores dados são independentes e como completar a base com mais vetores se necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de é um conjunto de 5 vetores que são todos linearmente independentes e que geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses 5 vetores.
Passo 3
Agora, temos dois vetores: e . Precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Passo 4
Vamos conferir isso. Se existirem escalares e tais que , então os vetores são lineares independentes se a única solução for e .
Montando as equações:
Resolvendo, vemos que e são as únicas soluções, então e são lineares independentes.
Passo 5
Como temos dois vetores independentes, precisamos adicionar mais três vetores para completar a base de e .
Passo 6
Vamos escolher os vetores padrão , e . Precisamos verificar se esses vetores são independentes dos que já temos.
Passo 7
Como os vetores padrão têm 1 em uma única posição e 0 nas demais, eles não podem ser combinados de forma que resultem em ou . Portanto, eles são independentes e podemos adicioná-los à nossa base.