a) Determine uma base de R^5 que possua os vetores (1,2,3,0,-5) e (0,2,4,3,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base de que inclua os vetores e . Isso envolve entender o que é uma base, como verificar se os vetores dados são independentes e como completar a base com mais vetores se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de é um conjunto de 5 vetores que são todos linearmente independentes e que geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses 5 vetores.

Passo 3

Agora, temos dois vetores: e . Precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.

Passo 4

Vamos conferir isso. Se existirem escalares a cdot 1 + b cdot 0 = 0 a cdot 2 + b cdot 2 = 0 a cdot 3 + b cdot 4 = 0 a cdot 0 + b cdot 3 = 0 a cdot (-5) + b cdot 0 = 0 e tais que , então os vetores são lineares independentes se a única solução for e .
Montando as equações:
Resolvendo, vemos que e são as únicas soluções, então e são lineares independentes.

Passo 5

Como temos dois vetores independentes, precisamos adicionar mais três vetores para completar a base de e .

Passo 6

Vamos escolher os vetores padrão , e . Precisamos verificar se esses vetores são independentes dos que já temos.

Passo 7

Como os vetores padrão têm 1 em uma única posição e 0 nas demais, eles não podem ser combinados de forma que resultem em ou . Portanto, eles são independentes e podemos adicioná-los à nossa base.

Resposta

Uma base de (1,2,3,0,-5), (0,2,4,3,0), (1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0), (0,0,1,0,0) que inclui os vetores e é:

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