Determine uma base e a dimensão do subespaço W=[(-5,3,9,25),(-1,0,2,4),(0,3,-1,5)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma base e a dimensão do subespaço gerado pelos vetores , e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e a ideia de independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores dados em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna. Isso nos ajuda a visualizar melhor a estrutura do subespaço:
A = -5 & -1 & 0 3 & 0 & 3 9 & 2 & -1 25 & 4 & 5

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, vamos realizar a redução de linha na matriz para encontrar sua forma escalonada. Isso nos ajudará a identificar quais colunas contêm pivôs (elementos não nulos que ajudam a determinar a independência).

Passo 4

Vamos executar as operações de linha:
  1. Primeira coluna: Já temos -5 & -1 & 0 0 & 35 & 3 0 & 75 & -1 0 & 9 & 5 como pivô na primeira posição.
  2. Zerar abaixo do pivô na primeira coluna:
    • Adicionamos vezes a primeira linha à segunda linha.
    • Adicionamos vezes a primeira linha à terceira linha.
    • Adicionamos vezes a primeira linha à quarta linha.
Depois dessas operações, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. O próximo pivô será -5 & -1 & 0 0 & 35 & 3 0 & 0 & -8 0 & 0 & -22 na segunda linha.
  1. Zerar abaixo do pivô na segunda coluna:
    • Subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha.
    • Subtraímos segunda linha da quarta linha.
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 6

Finalmente, olhamos para a terceira coluna. O pivô será na terceira linha. Isso nos mostra que todas as três colunas da matriz original são pivôs, indicando que os três vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Como os três vetores são linearmente independentes, eles formam uma base para o subespaço . A dimensão de é igual ao número de vetores na base, que nesse caso é 3.

Resposta

Uma base para o subespaço é formada pelos vetores , e . A dimensão de é 3.

Exercícios relacionados