Determine uma base e a dimensão do subespaço .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma base e a dimensão do subespaço gerado pelos vetores , e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e a ideia de independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores dados em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna. Isso nos ajuda a visualizar melhor a estrutura do subespaço:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, vamos realizar a redução de linha na matriz para encontrar sua forma escalonada. Isso nos ajudará a identificar quais colunas contêm pivôs (elementos não nulos que ajudam a determinar a independência).

Passo 4

Vamos executar as operações de linha: 1. **Primeira coluna:** Já temos como pivô na primeira posição. 2. **Zerar abaixo do pivô na primeira coluna:** - Adicionamos vezes a primeira linha à segunda linha. - Adicionamos vezes a primeira linha à terceira linha. - Adicionamos vezes a primeira linha à quarta linha. Depois dessas operações, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. O próximo pivô será na segunda linha. 1. **Zerar abaixo do pivô na segunda coluna:** - Subtraímos vezes a segunda linha da terceira linha. - Subtraímos segunda linha da quarta linha. Após essas operações, a matriz fica:

Passo 6

Finalmente, olhamos para a terceira coluna. O pivô será na terceira linha. Isso nos mostra que todas as três colunas da matriz original são pivôs, indicando que os três vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Como os três vetores são linearmente independentes, eles formam uma base para o subespaço . A dimensão de é igual ao número de vetores na base, que nesse caso é 3.

Resposta

Uma base para o subespaço é formada pelos vetores , e . A dimensão de é 3.

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