Calcule os Autovalores e os Autovetores das matrizes de V=Re^2 : (cc10 & -9 4 & -2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os autovalores e os autovetores da matriz 10 & -9 4 & -2 :
Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores resolvendo a equação característica da matriz e depois encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores ( det(V - lambda I) = 0 ) da matriz. Para isso, usamos a equação característica:
I = 1 & 0 0 & 1
Aqui, det( 10 & -9 4 & -2 - lambda 1 & 0 0 & 1 ) = 0 é a matriz identidade de ordem 2:
det 10 - lambda & -9 4 & -2 - lambda = 0
Então, substituindo na equação:
(10 - lambda)(-2 - lambda) - (-9)(4) = 0
Isso resulta em:
(-2 - lambda)(10 - lambda) + 36 = 0
Calculando o determinante:
-20 + 2lambda -10lambda + lambda^2 + 36 = 0
Simplificando:
lambda^2 -8lambda +16 = 0
Expandindo:
Juntando os termos:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática lambda = 8 pm raiz64 - 642 = 8 pm 02 = 4 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 4
Portanto, temos um autovalor repetido:

Passo 4

Agora que temos o autovalor (V - lambda I)v = 0 , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para isso, resolvemos o sistema:
10 - 4 & -9 4 & -2 - 4 v1 v2 = 0 0
Substituindo 6 & -9 4 & -6 v1 v2 = 0 0 :
[
6v1 - 9v2 = 0 4v1 - 6v2 = 0
2v1 - 3v2 = 0

v1 = 32v2
]
Simplificando a matriz:
[
v1 = 3
v = 3 2


]
Isso gera o sistema de equações:
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por 3:
Isolando :
Escolhemos para facilitar os cálculos, então:
Portanto, um autovetor correspondente é:

Resposta

Os autovalores da matriz são 3 2 (com multiplicidade 2) e o autovetor correspondente é .

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