Calcule os Autovalores e os Autovetores das matrizes de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os autovalores e os autovetores da matriz
:
Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores resolvendo a equação característica da matriz e depois encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores (
) da matriz. Para isso, usamos a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade de ordem 2:
Então, substituindo na equação:
Isso resulta em:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Expandindo:
Juntando os termos:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos um autovalor repetido:
Passo 4
Agora que temos o autovalor
, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para isso, resolvemos o sistema:
Substituindo
:
[
]
Simplificando a matriz:
[
]
Isso gera o sistema de equações:
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por 3:
Isolando
:
Escolhemos
para facilitar os cálculos, então:
Portanto, um autovetor correspondente é:
Resposta
Os autovalores da matriz são
(com multiplicidade 2) e o autovetor correspondente é
.
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com essas operações de adição e multiplicação, definidas acima, sobre
, perguntamos se este conjunto é um espaço vetorial sobre
.
Calcule os Autovalores e os Autovetores das matrizes de
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