Calcule os Autovalores e os Autovetores das matrizes de V=Re^2 : (ll0 & 3 4 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores da matriz V = 0 & 3 4 & 0 dada por:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Precisamos entender como encontrar esses valores e vetores que satisfazem a equação , onde é o autovalor e é o autovetor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores det(V - lambda I) = 0 . Para isso, usamos a equação característica, que é obtida calculando o determinante da matriz V - lambda I = - lambda & 3 4 & - lambda , onde é a matriz identidade.
Subtraindo da diagonal da matriz , temos:

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(V - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (3)(4) = lambda^2 - 12 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda^2 - 12 = 0 implies lambda^2 = 12 implies lambda = pm raiz12 = pm 2raiz3
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada (V - lambda I)v = 0 . Para isso, resolvemos a equação:
x y
Onde -2raiz3 & 3 4 & -2raiz3 x y = 0 0 .
Vamos começar com -2raiz3 cdot x + 3 cdot y = 0 4 cdot x - 2raiz3 cdot y = 0 .
Substituindo na matriz :

[


]
Isso resulta em duas equações:

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo:
-2raiz3 cdot x + 3 cdot y = 0 implies 3y = 2raiz3x implies y = 2raiz33x
Podemos escolher y = 2raiz33 cdot 3 = 2raiz3 para facilitar os cálculos:
v1 = 3 2raiz3
Então, um autovetor correspondente a é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o autovetor para 2raiz3 & 3 4 & 2raiz3 x y = 0 0 .
Substituindo na matriz 2raiz3 cdot x + 3 cdot y = 0 4 cdot x + 2raiz3 cdot y = 0 :

[


]
Isso resulta em duas equações:

Passo 7

Vamos resolver a primeira equação para expressar 2raiz3 cdot x + 3 cdot y = 0 implies 3y = -2raiz3x implies y = -2raiz33x em termos de y = -2raiz33 cdot 3 = -2raiz3 :
v2 = 3 -2raiz3
Escolhendo :
Então, um autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores da matriz são v1 = 3 2raiz3 e v2 = 3 -2raiz3 e . Os autovetores correspondentes são:

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