Calcule os Autovalores e os Autovetores das matrizes de
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores da matriz
dada por:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Precisamos entender como encontrar esses valores e vetores que satisfazem a equação
, onde
é o autovalor e
é o autovetor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores
. Para isso, usamos a equação característica, que é obtida calculando o determinante da matriz
, onde
é a matriz identidade.
Subtraindo
da diagonal da matriz
, temos:
Passo 3
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 4
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
. Para isso, resolvemos a equação:
Onde
.
Vamos começar com
.
Substituindo na matriz
:
[
]
Isso resulta em duas equações:
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação para expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo:
Podemos escolher
para facilitar os cálculos:
Então, um autovetor correspondente a
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o autovetor para
.
Substituindo na matriz
:
[
]
Isso resulta em duas equações:
Passo 7
Vamos resolver a primeira equação para expressar
em termos de
:
Escolhendo
:
Então, um autovetor correspondente a
é:
Resposta
Os autovalores da matriz são
e
. Os autovetores correspondentes são: