Calcule os Autovalores e os Autovetores das matrizes de :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores da matriz dada por:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Precisamos entender como encontrar esses valores e vetores que satisfazem a equação , onde é o autovalor e é o autovetor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, usamos a equação característica, que é obtida calculando o determinante da matriz , onde é a matriz identidade.
Subtraindo da diagonal da matriz , temos:
Passo 3
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são e .
Passo 4
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Para isso, resolvemos a equação:
Onde .
Vamos começar com .
Substituindo na matriz :
[
]
Isso resulta em duas equações:
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação para expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo:
Podemos escolher para facilitar os cálculos:
Então, um autovetor correspondente a é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o autovetor para .
Substituindo na matriz :
[
]
Isso resulta em duas equações:
Passo 7
Vamos resolver a primeira equação para expressar em termos de :
Escolhendo :
Então, um autovetor correspondente a é:
Resposta
Os autovalores da matriz são e . Os autovetores correspondentes são: