Calcule os Autovalores e os Autovetores das matrizes de V=Re^3 : (ccc-1 & 0 & 1 -1 & 3 & 0 -4 & 13 & -1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz 3x3. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar usar determinantes e resolver equações polinomiais para achar os valores que definem os autovalores, e depois encontrar os vetores correspondentes a cada um desses valores.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os autovalores, precisamos montar a equação característica da matriz. Isso é feito subtraindo o autovalor det(A - lambda I) = 0 da diagonal principal da matriz original e calculando o determinante dessa nova matriz igualado a zero. A equação fica assim:
Onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = -1 - lambda & 0 & 1 -1 & 3 - lambda & 0 -4 & 13 & -1 - lambda :
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante da matriz det(A - lambda I) = (-1 - lambda)[(3 - lambda)(-1 - lambda) - (0)(13)] - 0[(-1)(-1 - lambda) - (0)(-4)] + 1[(-1)(13) - (3 - lambda)(-4)] :
= (-1 - lambda)[(3 - lambda)(-1 - lambda)] + 1[(-13) + 4(3 - lambda)]
Simplificando:

Passo 5

Expandindo e simplificando a expressão:
= (-1 - lambda)(-3 - 3lambda + lambda + lambda^2) + (-13 + 12 - 4lambda)
= (-1 - lambda)(lambda^2 - 2lambda - 3) - (1 + 4lambda)
= (-1)(lambda^2 - 2lambda - 3) - lambda(lambda^2 - 2lambda - 3) - 1 - 4lambda
= -lambda^2 + 2lambda + 3 - lambda^3 + 2lambda^2 + 3lambda - 1 - 4lambda
= -lambda^3 + (,-lambda^2 + 2lambda^2) + (2lambda + 3lambda - 4lambda) + (3 - 1)
= -lambda^3 + lambda^2 + lambda + 2

Passo 6

Agora, temos a equação característica:
-lambda^3 + lambda^2 + lambda + 2 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
lambda^3 - lambda^2 - lambda - 2 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar os autovalores .

Passo 7

Vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o teorema das raízes racionais. Testando 2^3 - 2^2 - 2 - 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0 :
Então, é uma raiz. Agora, faremos a divisão polinomial para fatorar a equação.

Passo 8

Dividindo o polinômio lambda^3 - lambda^2 - lambda - 2 = (lambda - 2)(lambda^2 + lambda + 1) por lambda = -1 pm raiz1 - 42 = -1 pm raiz-32 = -1 pm iraiz32 , obtemos:
lambda1 = 2, lambda2 = -1 + iraiz32, lambda3 = -1 - iraiz32
Agora, resolvemos usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:

Passo 9

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Vamos começar com -3 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 -4 & 13 & -3 x y z = 0 0 0 .
Substituímos 1 1 3 na equação :

[


]
Resolvendo o sistema, encontramos que os autovetores para são combinações de .

Passo 10

Para os autovalores complexos e , os autovetores também serão complexos. Seguindo o mesmo procedimento, substituímos cada autovalor na equação e resolvemos para encontrar os vetores correspondentes.

Resposta

Os autovalores da matriz são:
lambda1 = 2, lambda2 = -1 + iraiz32, lambda3 = -1 - iraiz32
E os autovetores correspondentes são, respectivamente:
v1 = 1 1 3 , v2 e v3 são vetores comp<=xos associados a lambda2 e lambda3 ã

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