Calcule os Autovalores e os Autovetores das matrizes de :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz 3x3. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar usar determinantes e resolver equações polinomiais para achar os valores que definem os autovalores, e depois encontrar os vetores correspondentes a cada um desses valores.
Passo 2
Primeiro, para encontrar os autovalores, precisamos montar a equação característica da matriz. Isso é feito subtraindo o autovalor det(A - lambda I) = 0 da diagonal principal da matriz original e calculando o determinante dessa nova matriz igualado a zero. A equação fica assim:
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Vamos começar com -3 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 -4 & 13 & -3 x y z = 0 0 0 .
Substituímos 1 1 3 na equação :
[
]
Resolvendo o sistema, encontramos que os autovetores para são combinações de .
Passo 10
Para os autovalores complexos e , os autovetores também serão complexos. Seguindo o mesmo procedimento, substituímos cada autovalor na equação e resolvemos para encontrar os vetores correspondentes.