Encontre uma base e a dimensão do subespaço de onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A questão pede para encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de definido por:
Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, espaço vetorial, e como determinar bases e dimensões desses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem . Temos duas equações:
Isso significa que, para qualquer vetor em , essas duas equações devem ser satisfeitas.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações para expressar algumas variáveis em termos das outras. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, até agora temos:
A variável não aparece nas equações, o que significa que ela é livre e pode assumir qualquer valor real.
Passo 4
Vamos parametrizar as variáveis livres. Podemos escolher e como parâmetros livres. Então, podemos escrever:
Ou seja, o vetor pode ser escrito como:
Aqui, e são parâmetros que podem variar livremente em .
Passo 5
Com isso, podemos identificar os vetores que formam a base de Base de W = , (1, 1, 0, 2), , (0, 0, 1, 0) , . A base é o conjunto de vetores que multiplicados pelos parâmetros abrangem todo o subespaço. Então, temos:
Esses dois vetores são linearmente independentes e geram todo o subespaço .
Passo 6
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como encontramos duas vetores na base de , a dimensão de é 2.