Encontre uma base e a dimensão do subespaço W de R^4 onde
W=(x, y, z, t) in R^4: x-y=0 e x-3 y+t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A questão pede para encontrar uma base e a dimensão de um subespaço W = (x, y, z, t) in R^4 : x - y = 0 e x - 3y + t = 0 de definido por:
Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, espaço vetorial, e como determinar bases e dimensões desses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem x - y = 0 x - 3y + t = 0 . Temos duas equações:
Isso significa que, para qualquer vetor em , essas duas equações devem ser satisfeitas.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações para expressar algumas variáveis em termos das outras. Da primeira equação:
x = y
Substituindo y - 3y + t = 0 -2y + t = 0 t = 2y na segunda equação:
x = y e t = 2y
Então, até agora temos:
A variável não aparece nas equações, o que significa que ela é livre e pode assumir qualquer valor real.

Passo 4

Vamos parametrizar as variáveis livres. Podemos escolher x = y y = y z = z t = 2y e (y, y, z, 2y) = y(1, 1, 0, 2) + z(0, 0, 1, 0) como parâmetros livres. Então, podemos escrever:
Ou seja, o vetor pode ser escrito como:
Aqui, e são parâmetros que podem variar livremente em .

Passo 5

Com isso, podemos identificar os vetores que formam a base de Base de W = , (1, 1, 0, 2), , (0, 0, 1, 0) , . A base é o conjunto de vetores que multiplicados pelos parâmetros abrangem todo o subespaço. Então, temos:
Esses dois vetores são linearmente independentes e geram todo o subespaço .

Passo 6

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como encontramos duas vetores na base de , a dimensão de é 2.

Resposta

A base do subespaço é e a dimensão de é 2.

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