NotasDeAulas [2024] Seja V como na questão questão anterior, definamos as operações:
(x1, y1)+(x2, y2)=(2 y1-2 x1,-x1+y1) e a(x, y)=(3 a y,-a x)
com essas operações de adição e multiplicação, definidas acima, sobre V, perguntamos se este conjunto é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta um conjunto com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de um jeito diferente do usual. Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial sobre os números reais . Para isso, precisamos verificar se todas as axiomas de espaço vetorial são satisfeitas com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. São eles:
  1. Fechamento na adição: Somando dois vetores em , o resultado deve estar em .
  2. Comutatividade da adição: A ordem dos vetores não altera a soma.
  3. Existência de um elemento nulo: Deve existir um vetor em que, somado a qualquer vetor, não o altera.
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada vetor, deve existir outro que, somado a ele, resulta no elemento nulo.
  5. Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicando um vetor por um número real, o resultado deve estar em .
  6. Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores.
  7. Distributividade da multiplicação em relação à adição de escalares.
  8. Compatibilidade da multiplicação por escalares.
  9. Elemento neutro da multiplicação: Multiplicar um vetor por 1 deve resultar no próprio vetor.
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento na adição
Precisamos verificar se, ao somar dois vetores quaisquer em (x1, y1) + (x2, y2) = (2 y1 - 2 x1, -x1 + y1) usando a definição de adição dada, o resultado ainda pertence a .
A operação de adição é:
Aqui, observamos que a soma de qualquer dois vetores resulta em um par ordenado de números reais, já que todas as operações envolvidas (adição e multiplicação por constantes) mantêm os resultados em . Portanto, a adição está fechada em .

Passo 4

Axioma 2: Comutatividade da adição
Vamos verificar se:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1)
Usando a definição de adição:
(2 y1 - 2 x1, -x1 + y1) stackrel?= (2 y2 - 2 x2, -x2 + y2)
Claramente, a ordem dos vetores afeta o resultado, a menos que e , o que não é geral. Logo, a adição não é comutativa neste conjunto.

Passo 5

Axioma 3: Existência de um elemento nulo
Vamos procurar um vetor (x, y) + (ex, ey) = (x, y) tal que:
(2 ey - 2 ex, -ex + ey) = (x, y)
Usando a definição de adição:
2 ey - 2 ex = x e -ex + ey = y
Isso implica que:
(x, y) + (0, 0) = (0 - 0, -0 + 0) = (0, 0)
Essas equações devem ser verdadeiras para todo e , o que só é possível se e . Então, o elemento nulo é , que satisfaz a condição:
o que não retorna o vetor original . Portanto, o elemento nulo não existe sob essa operação de adição.

Passo 6

Axioma 4: Existência de inversos aditivos
Mesmo sabendo que já falhamos no axioma anterior, vamos verificar este também. Precisamos que para cada vetor (x, y) + (-x, -y) = (0, 0) , exista um vetor (2(-y) - 2x, -x + y) = (-2y - 2x, -x + y) tal que:
-2y - 2x = 0 e -x + y = 0
Usando a definição de adição:
Rightarrow x = y e -2x - 2x = -4x = 0 Rightarrow x = 0
Para isso igualar-se a , precisaríamos que:
Portanto, somente o vetor tem inverso aditivo, o que não satisfaz a condição para todos os vetores em .

Passo 7

Axioma 5: Fechamento na multiplicação por escalar
Vamos verificar se, ao multiplicar um vetor a(x, y) = (3 a y, -a x) por um escalar , o resultado ainda está em .
A operação de multiplicação por escalar é:
Aqui, multiplicamos componentes por e conseguimos outro par ordenado de números reais. Logo, a multiplicação por escalar está fechada em .

Passo 8

Axioma 6: Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores
Precisamos verificar se:
a((x1, y1) + (x2, y2)) = a(x1, y1) + a(x2, y2)
Calculando cada lado:
Lado esquerdo:
Lado direito:
a((2 y1 - 2 x1, -x1 + y1)) = (3a(-x1 + y1), -a(2 y1 - 2 x1)) = 3a(-x1 + y1), -2a y1 + 2a x1
Os dois lados não são iguais, então a distributividade não é satisfeita.

Passo 9

Como já identificamos que alguns axiomas não são satisfeitos (como a comutatividade da adição, existência do elemento nulo, inversos aditivos e distributividade), não precisamos verificar os demais axiomas. Para um conjunto ser um espaço vetorial, todos os axiomas precisam ser satisfeitos.

Resposta

Não, o conjunto com as operações dadas não forma um espaço vetorial sobre . Alguns dos axiomas necessários para ser um espaço vetorial não são satisfeitos.

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