NotasDeAulas [2024] Seja
como na questão questão anterior, definamos as operações:
com essas operações de adição e multiplicação, definidas acima, sobre
, perguntamos se este conjunto é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta um conjunto
com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de um jeito diferente do usual. Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto
com essas operações forma um espaço vetorial sobre os números reais
. Para isso, precisamos verificar se todas as axiomas de espaço vetorial são satisfeitas com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. São eles:
- Fechamento na adição: Somando dois vetores em
, o resultado deve estar em . - Comutatividade da adição: A ordem dos vetores não altera a soma.
- Existência de um elemento nulo: Deve existir um vetor em
que, somado a qualquer vetor, não o altera. - Existência de inversos aditivos: Para cada vetor, deve existir outro que, somado a ele, resulta no elemento nulo.
- Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicando um vetor por um número real, o resultado deve estar em
. - Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores.
- Distributividade da multiplicação em relação à adição de escalares.
- Compatibilidade da multiplicação por escalares.
- Elemento neutro da multiplicação: Multiplicar um vetor por 1 deve resultar no próprio vetor.
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento na adição
Precisamos verificar se, ao somar dois vetores quaisquer em
usando a definição de adição dada, o resultado ainda pertence a
.
A operação de adição é:
Aqui, observamos que a soma de qualquer dois vetores resulta em um par ordenado de números reais, já que todas as operações envolvidas (adição e multiplicação por constantes) mantêm os resultados em
. Portanto, a adição está fechada em
.
Passo 4
Axioma 2: Comutatividade da adição
Vamos verificar se:
Usando a definição de adição:
Claramente, a ordem dos vetores afeta o resultado, a menos que
e
, o que não é geral. Logo, a adição não é comutativa neste conjunto.
Passo 5
Axioma 3: Existência de um elemento nulo
Vamos procurar um vetor
tal que:
Usando a definição de adição:
Isso implica que:
Essas equações devem ser verdadeiras para todo
e
, o que só é possível se
e
. Então, o elemento nulo é
, que satisfaz a condição:
o que não retorna o vetor original
. Portanto, o elemento nulo não existe sob essa operação de adição.
Passo 6
Axioma 4: Existência de inversos aditivos
Mesmo sabendo que já falhamos no axioma anterior, vamos verificar este também. Precisamos que para cada vetor
, exista um vetor
tal que:
Usando a definição de adição:
Para isso igualar-se a
, precisaríamos que:
Portanto, somente o vetor
tem inverso aditivo, o que não satisfaz a condição para todos os vetores em
.
Passo 7
Axioma 5: Fechamento na multiplicação por escalar
Vamos verificar se, ao multiplicar um vetor
por um escalar
, o resultado ainda está em
.
A operação de multiplicação por escalar é:
Aqui, multiplicamos componentes por
e conseguimos outro par ordenado de números reais. Logo, a multiplicação por escalar está fechada em
.
Passo 8
Axioma 6: Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores
Precisamos verificar se:
Calculando cada lado:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Os dois lados não são iguais, então a distributividade não é satisfeita.
Passo 9
Como já identificamos que alguns axiomas não são satisfeitos (como a comutatividade da adição, existência do elemento nulo, inversos aditivos e distributividade), não precisamos verificar os demais axiomas. Para um conjunto ser um espaço vetorial, todos os axiomas precisam ser satisfeitos.
Resposta
Não, o conjunto
com as operações dadas não forma um espaço vetorial sobre
. Alguns dos axiomas necessários para ser um espaço vetorial não são satisfeitos.