Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares: T: Re^2 Re^2, T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores do operador linear , onde . Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. Basicamente, um autovalor é um número que, quando aplicado ao operador, alonga ou comprime o vetor sem mudar sua direção, e o autovetor é esse vetor que não muda de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 2 & 2 1 & 3 como uma matriz. Isso facilita muito na hora de calcular autovalores e autovetores. A matriz correspondente a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, é o autovalor e é a matriz identidade de ordem 2.

Passo 4

Vamos calcular A - lambda I = 2 - lambda & 2 1 & 3 - lambda :

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(3 - lambda) - (2 cdot 1) = (2 - lambda)(3 - lambda) - 2
Expandindo o produto:
(2 - lambda)(3 - lambda) = 6 - 2lambda - 3lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 6
Então:
det(A - lambda I) = lambda^2 - 5lambda + 6 - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4

Passo 6

Agora, resolvemos a equação característica:
lambda^2 - 5lambda + 4 = 0
Vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm raiz92 = 5 pm 32
Então, os autovalores são:
lambda1 = 5 + 32 = 4 e lambda2 = 5 - 32 = 1

Passo 7

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor, resolvemos a equação , onde é o autovetor.

Passo 8

Primeiro, para A - 4I = 2 - 4 & 2 1 & 3 - 4 = -2 & 2 1 & -1 :
-2x + 2y = 0 x - y = 0
Resolvemos o sistema:
v1 = 1 1
Simplificando, vemos que . Então, podemos escolher , logo . Assim, um autovetor correspondente a é:

Passo 9

Agora, para A - I = 2 - 1 & 2 1 & 3 - 1 = 1 & 2 1 & 2 :
x + 2y = 0 x + 2y = 0
Resolvemos o sistema:
v2 = -2 1
Aqui, temos que . Podemos escolher , então . Portanto, um autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores do operador v1 = 1 1 , v2 = -2 1 são e , com os respectivos autovetores:

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