Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores do operador linear
, onde
. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. Basicamente, um autovalor é um número que, quando aplicado ao operador, alonga ou comprime o vetor sem mudar sua direção, e o autovetor é esse vetor que não muda de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear
como uma matriz. Isso facilita muito na hora de calcular autovalores e autovetores. A matriz correspondente a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui,
é o autovalor e
é a matriz identidade de ordem 2.
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Expandindo o produto:
Então:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação característica:
Vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 7
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor, resolvemos a equação
, onde
é o autovetor.
Passo 8
Primeiro, para
:
Resolvemos o sistema:
Simplificando, vemos que
. Então, podemos escolher
, logo
. Assim, um autovetor correspondente a
é:
Passo 9
Agora, para
:
Resolvemos o sistema:
Aqui, temos que
. Podemos escolher
, então
. Portanto, um autovetor correspondente a
é:
Resposta
Os autovalores do operador
são
e
, com os respectivos autovetores: