Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os autovalores e autovetores do operador linear , onde . Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. Basicamente, um autovalor é um número que, quando aplicado ao operador, alonga ou comprime o vetor sem mudar sua direção, e o autovetor é esse vetor que não muda de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Isso facilita muito na hora de calcular autovalores e autovetores. A matriz correspondente a é:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui, é o autovalor e é a matriz identidade de ordem 2.
Passo 4
Vamos calcular :
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Expandindo o produto:
Então:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação característica:
Vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 7
Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor, resolvemos a equação , onde é o autovetor.
Passo 8
Primeiro, para :
Resolvemos o sistema:
Simplificando, vemos que . Então, podemos escolher , logo . Assim, um autovetor correspondente a é:
Passo 9
Agora, para :
Resolvemos o sistema:
Aqui, temos que . Podemos escolher , então . Portanto, um autovetor correspondente a é:
Resposta
Os autovalores do operador são e , com os respectivos autovetores: