Calcule os Autovalores e os Autovetores das matrizes de V=Re^3 : (ccc5 & 6 & 2 0 & -1 & -8 1 & 0 & -2)

Passo 1

Vamos calcular os autovalores e autovetores da matriz V = 5 & 6 & 2 0 & -1 & -8 1 & 0 & -2 :
Para isso, vamos precisar entender os conceitos de autovalores e autovetores da Álgebra Linear, além de saber calcular determinantes e resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Eles são os valores de det(V - lambda I) = 0 que satisfazem a seguinte equação característica:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 3

Vamos calcular V - lambda I = 5 - lambda & 6 & 2 0 & -1 - lambda & -8 1 & 0 & -2 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(V - lambda I) = (5 - lambda) cdot ( (-1 - lambda)(-2 - lambda) - (0)(-8) ) - 6 cdot ( 0 cdot (-2 - lambda) - (-8) cdot 1 ) + 2 cdot ( 0 cdot 0 - (-1 - lambda) cdot 1 )

Passo 5

Simplificando os termos:
det(V - lambda I) = (5 - lambda) cdot ( (lambda + 1)(lambda + 2) ) - 6 cdot (8) + 2 cdot (lambda + 1)
det(V - lambda I) = (5 - lambda)(lambda^2 + 3lambda + 2) - 48 + 2lambda + 2

Passo 6

Expandindo e simplificando a expressão:
(5 - lambda)(lambda^2 + 3lambda + 2) = 5lambda^2 + 15lambda + 10 - lambda^3 - 3lambda^2 - 2lambda = -lambda^3 + 2lambda^2 + 13lambda + 10
Então, juntando tudo:
det(V - lambda I) = -lambda^3 + 2lambda^2 + 13lambda + 10 - 48 + 2lambda + 2 = -lambda^3 + 2lambda^2 + 15lambda - 36
Multiplicando por -1 para facilitar:
lambda^3 - 2lambda^2 - 15lambda + 36 = 0

Passo 7

Vamos resolver a equação cúbica lambda = pm1, pm2, pm3, pm4, pm6, pm9, pm12, pm18, pm36 . Usamos o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as raízes possíveis são os divisores de 36:
3^3 - 2(3)^2 - 15(3) + 36 = 27 - 18 - 45 + 36 = 0
Testando :
Portanto, é uma raiz.

Passo 8

Fatorando o polinômio pela raiz lambda^3 - 2lambda^2 - 15lambda + 36 = (lambda - 3)(lambda^2 + lambda - 12) :
lambda = -1 pm raiz1 + 482 = -1 pm 72
Agora, resolvemos a equação quadrática lambda = 3 e lambda = -4 :
Assim, temos duas soluções:
Então, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 9

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começamos com V - 3I = 2 & 6 & 2 0 & -4 & -8 1 & 0 & -5 .
Resolvemos 2x + 6y + 2z = 0 -4y - 8z = 0 x - 5z = 0 :
v1 = 5 -2 1
Isso nos leva ao sistema de equações:
Resolvendo, encontramos que e . Podemos escolher para simplificar, então o autovetor é:

Passo 10

Para o autovalor V + 4I = 9 & 6 & 2 0 & 3 & -8 1 & 0 & 2 , resolvemos 9x + 6y + 2z = 0 3y - 8z = 0 x + 2z = 0 :
v2 = -6 8 3
O sistema correspondente é:
Resolvendo, encontramos e . Escolhendo para evitar frações:

Resposta

Os autovalores da matriz são v1 = 5 -2 1 e v2 = -6 8 3 (com multiplicidade 2) e . Os autovetores correspondentes são:

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