Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares: T: Re^2 Re^2, T(x, y)=(y,-x)

Passo 1

Então, a gente tem um operador linear definido por . Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores e autovetores desse operador. Para isso, vamos precisar usar a teoria de autovalores e autovetores, que basicamente nos ajuda a entender como uma transformação linear “estica” ou “encolhe” vetores sem mudar sua direção.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T = 0 & 1 -1 & 0 como uma matriz. Sabemos que pode ser escrita na forma matricial:
Essa matriz representa como os vetores de são transformados pelo operador .

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores ( det(T - lambda I) = 0 ), precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
I = 1 & 0 0 & 1
Aqui, é a matriz identidade de ordem 2:

Passo 4

Vamos calcular T - lambda I = 0 - lambda & 1 -1 & 0 - lambda = -lambda & 1 -1 & -lambda :
det(T - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (1)(-1) = lambda^2 + 1
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 5

A seguir, resolvemos a equação característica:
lambda^2 + 1 = 0 implies lambda^2 = -1 implies lambda = pm i
Então, os autovalores são e . Note que como trabalhamos com números reais, esses autovalores são complexos, o que é esperado para certas transformações no plano.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com - i & 1 -1 & -i v1 v2 = 0 0 .
Para - i v1 + v2 = 0 - v1 - i v2 = 0 , resolvemos v1 = 1 i :
i & 1 -1 & i v1 v2 = 0 0
Isso resulta no sistema de equações:
i v1 + v2 = 0 - v1 + i v2 = 0
Da primeira equação, podemos expressar v2 = 1 -i . Então, um autovetor correspondente a é:
De maneira similar, para , resolvemos :

[


]
O sistema de equações fica:
Da primeira equação, temos . Então, um autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores do operador v1 = 1 i , v2 = 1 -i são e , com os respectivos autovetores:

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