Determinar os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares:
Passo 1
Então, a gente tem um operador linear
definido por
. Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores e autovetores desse operador. Para isso, vamos precisar usar a teoria de autovalores e autovetores, que basicamente nos ajuda a entender como uma transformação linear “estica” ou “encolhe” vetores sem mudar sua direção.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador
como uma matriz. Sabemos que
pode ser escrita na forma matricial:
Essa matriz representa como os vetores de
são transformados pelo operador
.
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores (
), precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui,
é a matriz identidade de ordem 2:
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
A seguir, resolvemos a equação característica:
Então, os autovalores são
e
. Note que como trabalhamos com números reais, esses autovalores são complexos, o que é esperado para certas transformações no plano.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com
.
Para
, resolvemos
:
Isso resulta no sistema de equações:
Da primeira equação, podemos expressar
. Então, um autovetor correspondente a
é:
De maneira similar, para
, resolvemos
:
[
]
O sistema de equações fica:
Da primeira equação, temos
. Então, um autovetor correspondente a
é:
Resposta
Os autovalores do operador
são
e
, com os respectivos autovetores: