Calcule os autovalores e bases dos autoespaços de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular os autovalores e as bases dos autoespaços da seguinte matriz:
O conteúdo que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente o conceito de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar:
- Encontrar os autovalores resolvendo o determinante
.|A - lambda I| = 0 - Para cada autovalor encontrado, determinar os autovetores associados resolvendo
.(A - lambda I)v = 0
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
A . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Aqui,
I é a matriz identidade do mesmo tamanho de
A , e
lambda representa os autovalores que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos montar a matriz
A - lambda I :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 4
Vamos expandir o termo dentro do determinante:
Portanto:
Passo 5
Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1 -
lambda^2 - lambda - 2 = 0
Vamos resolver a segunda equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:
-
lambda = 1 + 32 = 2 -
lambda = 1 - 32 = -1
Passo 6
Agora que temos os autovalores
lambda = 1 ,
2 , e
-1 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Autovalor
lambda = 1
Vamos resolver
(A - I)v = 0 :
Escrevendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
v2 = 0
Substituindo na primeira equação:
-0 - v3 = 0 Rightarrow v3 = 0
Portanto, o autovetor associado a
lambda = 1 é:
Autovalor
lambda = 2
Vamos resolver
(A - 2I)v = 0 :
Escrevendo o sistema de equações:
Da terceira equação:
-v2 - 3v3 = 0 Rightarrow v2 = -3v3
Substituindo na primeira equação:
Portanto, o autovetor associado a
lambda = 2 é:
Autovalor
lambda = -1
Vamos resolver
(A + I)v = 0 :
Escrevendo o sistema de equações:
Da terceira equação:
-v2 = 0 Rightarrow v2 = 0
Substituindo na primeira equação:
2v1 - 0 - v3 = 0 Rightarrow 2v1 = v3
Portanto, o autovetor associado a
lambda = -1 é:
Resposta
Os autovalores e suas respectivas bases dos autoespaços são:
-
Autovalor
lambda = 1 - Autovetor:
1 0 0
- Autovetor:
-
Autovalor
lambda = 2 - Autovetor:
2 -3 1
- Autovetor:
-
Autovalor
lambda = -1 - Autovetor:
1 0 2
- Autovetor: