Calcule os autovalores e bases dos autoespaços de
(ccc 1 & -1 & -1 0 & 2 & 0 0 & -1 & -1 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular os autovalores e as bases dos autoespaços da seguinte matriz:
A = 1 & -1 & -1 0 & 2 & 0 0 & -1 & -1
O conteúdo que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente o conceito de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar os autovalores resolvendo o determinante |A - lambda I| = 0.
  2. Para cada autovalor encontrado, determinar os autovetores associados resolvendo (A - lambda I)v = 0.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade do mesmo tamanho de A, e lambda representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 1 - lambda & -1 & -1 0 & 2 - lambda & 0 0 & -1 & -1 - lambda
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(2 - lambda)(-1 - lambda) - (0)(-1)] - (-1)[0(-1 - lambda) - 0(0)] + (-1)[0(-1) - (2 - lambda)(0)]
Simplificando:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(2 - lambda)(-1 - lambda)]

Passo 4

Vamos expandir o termo dentro do determinante:
(2 - lambda)(-1 - lambda) = -2 -2lambda + lambda + lambda^2 = lambda^2 - lambda - 2
Portanto:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - lambda - 2)

Passo 5

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(1 - lambda)(lambda^2 - lambda - 2) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. 1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
  2. lambda^2 - lambda - 2 = 0
Vamos resolver a segunda equação quadrática:
lambda^2 - lambda - 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então:
  • lambda = 1 + 32 = 2
  • lambda = 1 - 32 = -1

Passo 6

Agora que temos os autovalores lambda = 1, 2, e -1, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.

Autovalor lambda = 1

Vamos resolver (A - I)v = 0:
A - I = 0 & -1 & -1 0 & 1 & 0 0 & -1 & -2
Escrevendo o sistema de equações:
0v1 - v2 - v3 = 0 0v1 + v2 + 0v3 = 0 0v1 - v2 - 2v3 = 0
Da segunda equação: v2 = 0
Substituindo na primeira equação: -0 - v3 = 0 Rightarrow v3 = 0
v1 é livre. Então, podemos escolher v1 = 1.
Portanto, o autovetor associado a lambda = 1 é:
v = 1 0 0

Autovalor lambda = 2

Vamos resolver (A - 2I)v = 0:
A - 2I = -1 & -1 & -1 0 & 0 & 0 0 & -1 & -3
Escrevendo o sistema de equações:
- v1 - v2 - v3 = 0 0v1 + 0v2 + 0v3 = 0 0v1 - v2 - 3v3 = 0
Da terceira equação: -v2 - 3v3 = 0 Rightarrow v2 = -3v3
Substituindo na primeira equação:
-v1 - (-3v3) - v3 = -v1 + 3v3 - v3 = -v1 + 2v3 = 0 Rightarrow v1 = 2v3
v3 é livre. Podemos escolher v3 = 1.
Portanto, o autovetor associado a lambda = 2 é:
v = 2 -3 1

Autovalor lambda = -1

Vamos resolver (A + I)v = 0:
A + I = 2 & -1 & -1 0 & 3 & 0 0 & -1 & 0
Escrevendo o sistema de equações:
2v1 - v2 - v3 = 0 0v1 + 3v2 + 0v3 = 0 0v1 - v2 + 0v3 = 0
Da terceira equação: -v2 = 0 Rightarrow v2 = 0
Substituindo na primeira equação: 2v1 - 0 - v3 = 0 Rightarrow 2v1 = v3
v1 é livre. Podemos escolher v1 = 1, então v3 = 2
Portanto, o autovetor associado a lambda = -1 é:
v = 1 0 2

Resposta

Os autovalores e suas respectivas bases dos autoespaços são:
  • Autovalor lambda = 1
    • Autovetor: 1 0 0
  • Autovalor lambda = 2
    • Autovetor: 2 -3 1
  • Autovalor lambda = -1
    • Autovetor: 1 0 2

Exercícios relacionados