Determinar de modo que o sistema abaixo seja de Cramer e , a seguir, resolvê-lo:
Passo 1
Beleza! Vamos ver aqui o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
l x - y + z = 2 x + 2 z = 1 x + 2 y + m z = 0
Queremos encontrar o valor de que faz com que esse sistema seja resolvível pelo Método de Cramer. Para isso, precisamos entender que o Método de Cramer funciona quando o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. Então, vamos precisar calcular esse determinante e garantir que ele não seja zero. Depois, vamos usar o método para encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & -1 & 1 1 & 0 & 2 1 & 2 & m
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = 1 times 0 times m + (-1) times 2 times 1 + 1 times 1 times 2 - (1 times 0 times 1 + (-1) times 1 times m + 1 times 2 times 1)
Para que o Método de Cramer funcione, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero:
det(A) neq 0 implies -m neq 0 implies m neq 0
Portanto, o sistema será resolvível pelo Método de Cramer para qualquer valor de diferente de zero.
Passo 4
Agora que sabemos que B = 2 1 0 , vamos resolver o sistema usando o Método de Cramer. Para isso, precisamos encontrar os determinantes das matrizes Ax = 2 & -1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 2 & m , det(Ax) = 2(0 cdot m - 2 cdot 2) - (-1)(1 cdot m - 0 cdot 0) + 1(1 cdot 2 - 0 cdot 0) e det(Ax) = 2(0 - 4) + 1(m - 0) + 1(2 - 0) , que são obtidas substituindo a coluna correspondente à incógnita pelo vetor dos termos constantes.
Primeiro, vamos identificar o vetor dos termos constantes: