Determinar m in R de modo que o sistema abaixo seja de Cramer e , a seguir, resolvê-lo:
l x-y+z=2 x+2 z=1 x+2 y+m z=0

Passo 1

Beleza! Vamos ver aqui o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
l x - y + z = 2 x + 2 z = 1 x + 2 y + m z = 0
Queremos encontrar o valor de que faz com que esse sistema seja resolvível pelo Método de Cramer. Para isso, precisamos entender que o Método de Cramer funciona quando o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. Então, vamos precisar calcular esse determinante e garantir que ele não seja zero. Depois, vamos usar o método para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & -1 & 1 1 & 0 & 2 1 & 2 & m
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = 1 times 0 times m + (-1) times 2 times 1 + 1 times 1 times 2 - (1 times 0 times 1 + (-1) times 1 times m + 1 times 2 times 1)
Calculando passo a passo:
det(A) = (1 cdot 0 cdot m) + (-1 cdot 2 cdot 1) + (1 cdot 1 cdot 2) - [(1 cdot 0 cdot 1) + (-1 cdot 1 cdot m) + (1 cdot 2 cdot 1)]
det(A) = (0) + (-2) + (2) - [0 + (-m) + 2]
det(A) = 0 - 2 + 2 - ( -m + 2 )
det(A) = 0 - m - 2 + 2 = -m
Então, o determinante é .

Passo 3

Para que o Método de Cramer funcione, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero:
det(A) neq 0 implies -m neq 0 implies m neq 0
Portanto, o sistema será resolvível pelo Método de Cramer para qualquer valor de diferente de zero.

Passo 4

Agora que sabemos que B = 2 1 0 , vamos resolver o sistema usando o Método de Cramer. Para isso, precisamos encontrar os determinantes das matrizes Ax = 2 & -1 & 1 1 & 0 & 2 0 & 2 & m , det(Ax) = 2(0 cdot m - 2 cdot 2) - (-1)(1 cdot m - 0 cdot 0) + 1(1 cdot 2 - 0 cdot 0) e det(Ax) = 2(0 - 4) + 1(m - 0) + 1(2 - 0) , que são obtidas substituindo a coluna correspondente à incógnita pelo vetor dos termos constantes.
Primeiro, vamos identificar o vetor dos termos constantes:
det(Ax) = 2(-4) + m + 2 = -8 + m + 2 = m - 6
Agora, vamos construir as matrizes Ay = 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 1 & 0 & m , det(Ay) = 1(1 cdot m - 0 cdot 2) - 2(1 cdot m - 1 cdot 2) + 1(1 cdot 0 - 1 cdot 1) e det(Ay) = 1(m - 0) - 2(m - 2) + 1(0 - 1) .
Matriz det(Ay) = m - 2m + 4 - 1 = -m + 3 : Substituímos a primeira coluna por Az = 1 & -1 & 2 1 & 0 & 1 1 & 2 & 0 :
det(Az) = 1(0 cdot 0 - 2 cdot 1) - (-1)(1 cdot 0 - 1 cdot 1) + 2(1 cdot 2 - 1 cdot 0)
Calculando o determinante de det(Az) = 1(0 - 2) + 1(0 - 1) + 2(2 - 0) :
det(Az) = -2 + (-1) + 4 = 1
Matriz : Substituímos a segunda coluna por :
Calculando o determinante de :
Matriz : Substituímos a terceira coluna por :
Calculando o determinante de :

Passo 5

Agora, aplicamos o Método de Cramer para encontrar as incógnitas:
x = det(Ax)det(A) = m - 6-m
y = det(Ay)det(A) = -m + 3-m = m - 3m
z = det(Az)det(A) = 1-m = -1m

Resposta

Para x = m - 6-m, y = m - 3m, z = -1m , o sistema tem solução única dada por:

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