Calcule a distância entre a reta x-22=y-3-1=z-43 e o plano 2 x+y- 3 z=6

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a distância entre uma reta e um plano. Vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente os vetores diretor e normal. Para resolver, vamos identificar esses vetores e verificar a relação entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta a partir da sua equação. A reta está dada por:
x - 22 = y - 3-1 = z - 43
O vetor diretor, , é formado pelos denominadores das frações, ou seja, .

Passo 3

Em seguida, identificamos o vetor normal do plano a partir da sua equação. O plano é dado por:
2x + y - 3z = 6
O vetor normal, , é formado pelos coeficientes de , e , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a reta é paralela ao plano. Para isso, calculamos o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano:
v cdot n = (2)(2) + (-1)(1) + (3)(-3) = 4 - 1 - 9 = -6
Como o produto escalar não é zero ( ), a reta não é paralela ao plano. Isso significa que a reta intersecta o plano.

Resposta

A distância entre a reta e o plano é .

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