Determine a equação do plano que contém a reta x-12=y-3-1=z-21 e o ponto (3,4,5))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que contém uma reta específica e também passa por um ponto dado. Aqui, a reta é representada pela equação x-12=y-3-1=z-21 e o ponto é (3,4,5). Para fazer isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta que foi dada. A forma x-12=y-3-1=z-21 é conhecida como forma simétrica da equação de uma reta no espaço. Nela, os termos denominadores (2, -1, 1) representam a direção da reta, ou seja, o vetor diretor da reta. Então, o vetor diretor d da reta é d = lang<= 2, -1, 1 rang<=.

Passo 3

Agora, precisamos de um ponto que pertence ao plano além daquele que já foi dado. A reta contém infinitos pontos, então podemos escolher qualquer ponto na reta para facilitar. Vamos pegar o ponto que está explícito na equação da reta, que é (1,3,2). Esse ponto pertence à reta e, portanto, ao plano que estamos procurando.

Passo 4

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que seja perpendicular ao plano. Sabemos que tanto o vetor diretor da reta d = lang<= 2, -1, 1 rang<= quanto o vetor que vai do ponto da reta (1,3,2) até o ponto dado (3,4,5) estão dentro do plano. Portanto, o vetor que liga esses dois pontos também está no plano.
Vamos encontrar esse vetor:
v = lang<= 3-1, 4-3, 5-2 rang<= = lang<= 2, 1, 3 rang<=

Passo 5

Agora, temos dois vetores que estão no plano: d = lang<= 2, -1, 1 rang<= e v = lang<= 2, 1, 3 rang<=. Para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores, já que o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Calculando o produto vetorial:
n = d times v = i & j & k 2 & -1 & 1 2 & 1 & 3
Expandindo o determinante:
n = i((-1)(3) - (1)(1)) - j((2)(3) - (1)(2)) + k((2)(1) - (-1)(2))
n = i(-3 -1) - j(6 -2) + k(2 +2)
n = lang<= -4, -4, 4 rang<=
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -4:
n = lang<= 1, 1, -1 rang<=

Passo 6

Agora que temos o vetor normal n = lang<= 1, 1, -1 rang<=, podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano. Vamos usar o ponto dado (3,4,5).
Substituindo os valores:
1(x - 3) + 1(y - 4) -1(z - 5) = 0
$ x - 3 + y - 4 - z + 5 = 0$
$ x + y - z - 2 = 0$

Resposta

A equação do plano é: x + y - z - 2 = 0

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