Determine a equação do plano que contém a reta e o ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que contém uma reta específica e também passa por um ponto dado. Aqui, a reta é representada pela equação e o ponto é . Para fazer isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta que foi dada. A forma é conhecida como forma simétrica da equação de uma reta no espaço. Nela, os termos denominadores (2, -1, 1) representam a direção da reta, ou seja, o vetor diretor da reta. Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, precisamos de um ponto que pertence ao plano além daquele que já foi dado. A reta contém infinitos pontos, então podemos escolher qualquer ponto na reta para facilitar. Vamos pegar o ponto que está explícito na equação da reta, que é . Esse ponto pertence à reta e, portanto, ao plano que estamos procurando.
Passo 4
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que seja perpendicular ao plano. Sabemos que tanto o vetor diretor da reta quanto o vetor que vai do ponto da reta até o ponto dado estão dentro do plano. Portanto, o vetor que liga esses dois pontos também está no plano.
Vamos encontrar esse vetor:
Passo 5
Agora, temos dois vetores que estão no plano: e . Para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores, já que o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Calculando o produto vetorial:
Expandindo o determinante: n = i((-1)(3) - (1)(1)) - j((2)(3) - (1)(2)) + k((2)(1) - (-1)(2)) n = i(-3 -1) - j(6 -2) + k(2 +2) n = lang<= -4, -4, 4 rang<=
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -4: n = lang<= 1, 1, -1 rang<=
Passo 6
Agora que temos o vetor normal n = lang<= 1, 1, -1 rang<=, podemos usar a equação geral do plano: a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano. Vamos usar o ponto dado (3,4,5).
Substituindo os valores: 1(x - 3) + 1(y - 4) -1(z - 5) = 0
$ x - 3 + y - 4 - z + 5 = 0$
$ x + y - z - 2 = 0$