Responda as questōes abaixo:
Como verificar se uma transformação linear é injetora, sendo dada sua regra explicita?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma transformação linear é injetora, quando já temos a sua regra explícita. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e como usar propriedades das matrizes ou sistemas lineares para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear ser injetora. Uma transformação linear é injetora se cada vetor em é mapeado para um vetor único em . Isso significa que se , então necessariamente .

Passo 3

Para verificar se a transformação é injetora, podemos analisar o núcleo da transformação, também chamado de kernel. O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Matemáticamente, .

Passo 4

A transformação é injetora se e somente se o núcleo contém apenas o vetor zero. Ou seja, . Se existir algum vetor diferente de zero no núcleo, então a transformação não é injetora.

Passo 5

Vamos aplicar isso à regra explícita da transformação. Suponha que a transformação linear seja dada por uma matriz tal que . Para encontrar o núcleo, resolvemos a equação .

Passo 6

Se a única solução dessa equação for , isso significa que o núcleo é trivial e, portanto, é injetora. Para garantir isso, a matriz deve ter posto completo, ou seja, o número de colunas de deve ser igual ao posto da matriz.

Passo 7

Outra forma de verificar é através do determinante. Se a matriz for quadrada e o seu determinante for diferente de zero ( ), então é invertível e, consequentemente, é injetora.

Resposta

Para verificar se a transformação linear é injetora, analisamos o núcleo da transformação e verificamos se ele contém apenas o vetor zero. Se isso for verdade, a transformação é injetora. Alternativamente, se a matriz que representa a transformação tiver determinante diferente de zero, a transformação também é injetora.

Exercícios relacionados