Responda as questōes abaixo:
Como verificar se uma transformação linear é injetora, sendo dada sua regra explicita?
Como verificar se uma transformação linear é injetora, sendo dada sua regra explicita?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma transformação linear é injetora, quando já temos a sua regra explícita. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e como usar propriedades das matrizes ou sistemas lineares para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear ser injetora. Uma transformação linear
é injetora se cada vetor em
é mapeado para um vetor único em
. Isso significa que se
, então necessariamente
.
Passo 3
Para verificar se a transformação é injetora, podemos analisar o núcleo da transformação, também chamado de kernel. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Matemáticamente,
.
Passo 4
A transformação
é injetora se e somente se o núcleo contém apenas o vetor zero. Ou seja,
. Se existir algum vetor diferente de zero no núcleo, então a transformação não é injetora.
Passo 5
Vamos aplicar isso à regra explícita da transformação. Suponha que a transformação linear seja dada por uma matriz
tal que
. Para encontrar o núcleo, resolvemos a equação
.
Passo 6
Se a única solução dessa equação for
, isso significa que o núcleo é trivial e, portanto,
é injetora. Para garantir isso, a matriz
deve ter posto completo, ou seja, o número de colunas de
deve ser igual ao posto da matriz.
Passo 7
Outra forma de verificar é através do determinante. Se a matriz
for quadrada e o seu determinante for diferente de zero (
), então
é invertível e, consequentemente,
é injetora.
Resposta
Para verificar se a transformação linear é injetora, analisamos o núcleo da transformação e verificamos se ele contém apenas o vetor zero. Se isso for verdade, a transformação é injetora. Alternativamente, se a matriz que representa a transformação tiver determinante diferente de zero, a transformação também é injetora.