Calcule os autovalores da matriz dada por

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar os autovalores da matriz , que é formada pela combinação de outras matrizes e . Vamos precisar entender um pouco sobre como matrizes semelhantes funcionam e como encontrar autovalores de matrizes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na definição de :
Aqui, é a inversa da matriz . Quando uma matriz é parecida com outra dessa forma, a gente fala que são matrizes semelhantes.

Passo 3

Uma coisa super útil sobre matrizes semelhantes é que elas têm os mesmos autovalores. Então, em vez de calcular os autovalores de diretamente, podemos simplesmente calcular os autovalores de , que geralmente é mais fácil.

Passo 4

Vamos olhar a matriz :
Essa é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Uma vantagem das matrizes triangulares é que os autovalores são exatamente os valores que estão na diagonal principal.

Passo 5

Então, olhando para a diagonal de , temos os valores:
Esses são os autovalores de , e como vimos antes, eles também são os autovalores de .

Resposta

Os autovalores da matriz são , e .

Exercícios relacionados

Seja uma matriz . O sistema linear tem uma solução única se, e só se, for uma matriz invertível.
Considere as bases ordenadas e a base canônica de .
(a) Encontre as matrizes de mudança da base para a , isto é , e da base para a base , isto é .
Seja uma base para o espaço vetorial das matrizes reais simétrica . Encontre as coordenadas da matriz em relação à base , onde:
(b)
Sejam uma matriz e uma matriz invertível. Se for uma solução do sistema linear , então será uma solução do sistema linear .